Question

如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是梯形，其中A（6，0），B（3，），C（1，），动点P从点O以每秒2个单位的速度向点A运动，动点Q也同时从点B沿B→C→O的线路以每秒1个单位的速度向点O运动，当点P到达A点时，点Q也随之停止，设点P，Q运动的时间为t（秒）．
（1）求经过A，B，C三点的抛物线的解析式；
（2）当点Q在CO边上运动时，求△OPQ的面积S与时间t的函数关系式；
（3）以O，P，Q顶点的三角形能构成直角三角形吗？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由；
（4）经过A，B，C三点的抛物线的对称轴、直线OB和PQ能够交于一点吗？若能，请求出此时t的值（或范围），若不能，请说明理由）．

Answer

（1）利用待定系数法求出二次函数解析式即可；
（2）根据已知得出△OPQ的高，进而利用三角形面积公式求出即可；
（3）根据题意得出：0≤t≤3，当0≤t≤2时，Q在BC边上运动，得出若△OPQ为直角三角形，只能是∠OPQ=90°或∠OQP=90°，当2＜t≤3时，Q在OC边上运动，得出△OPQ不可能为直角三角形；
（4）首先求出抛物线对称轴以及OB直线解析式和PM的解析式，得出（1-t）×=3-t-2t，恒成立，即0≤t≤2时，P，M，Q总在一条直线上，再利用2＜t≤3时，求出t的值，根据t的取值范围得出答案．
【解析】
（1）设所求抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，把A（6，0），B（3，），C（1，）三点坐标代入得：
，
解得：，
即所求抛物线解析式为：y=-x2+x+；

（2）如图1，依据题意得出：OC=CB=2，∠COA=60°，
∴当动点Q运动到OC边时，OQ=4-t，
∴△OPQ的高为：OQ×sin60°=（4-t）×，
又∵OP=2t，
∴S=×2t×（4-t）×=-（t2-4t）（2≤t≤3）；

（3）根据题意得出：0≤t≤3，
当0≤t≤2时，Q在BC边上运动，此时OP=2t，OQ=，
PQ==，
∵∠POQ＜∠POC=60°，
∴若△OPQ为直角三角形，只能是∠OPQ=90°或∠OQP=90°，
若∠OPQ=90°，如图2，则OP2+PQ2=QO2，即4t2+3+（3t-3）2=3+（3-t）2，
解得：t1=1，t2=0（舍去），
若△OPQ为直角三角形，只能是∠OPQ=90°或∠OQP=90°，
若∠OQP=90°，如图，3，则OQ2+PQ2=PO2，即（3-t）2+6+（3t-3）2=4t2，
解得：t=2，
当2＜t≤3时，Q在OC边上运动，此时QP=2t＞4，
∠POQ=∠COP=60°，
OQ＜OC=2，
故△OPQ不可能为直角三角形，
综上所述，当t=1或t=2时，△OPQ为直角三角形；

（4）由（1）可知，抛物线y=-x2+x+=-（x-2）2+，
其对称轴为x=2，
又∵OB的直线方程为y=x，
∴抛物线对称轴与OB交点为M（2，），
又∵P（2t，0）
设过P，M的直线解析式为：y=kx+b，
∴，
解得：，
即直线PM的解析式为：y=x-，
即（1-t）y=x-2t，
又0≤t≤2时，Q（3-t，），代入上式，得：
（1-t）×=3-t-2t，恒成立，
即0≤t≤2时，P，M，Q总在一条直线上，
即M在直线PQ上；
当2＜t≤3时，OQ=4-t，∠QOP=60°，
∴Q（，），
代入上式得：×（1-t）=-2t，
解得：t=2或t=（均不合题意，舍去）．
∴综上所述，可知过点A、B、C三点的抛物线的对称轴OB和PQ能够交于一点，此时0≤t≤2．