Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5．点P从点B出发，以每秒1个单位长度沿B→C→A→B的方向运动；点Q从点C出发，以每秒2个单位沿C→A→B方向的运动，到达点B后立即原速返回，若P、Q两点同时运动，相遇后同时停止，设运动时间为ι秒．
（1）当ι=______时，点P与点Q相遇；
（2）在点P从点B到点C的运动过程中，当ι为何值时，△PCQ为等腰三角形？
（3）在点Q从点B返回点A的运动过程中，设△PCQ的面积为s平方单位．
①求s与ι之间的函数关系式；
②当s最大时，过点P作直线交AB于点D，将△ABC中沿直线PD折叠，使点A落在直线PC上，求折叠后的△APD与△PCQ重叠部分的面积．

Answer

（1）首先利用勾股定理求得AC的长度，点P与点Q相遇一定是在P由A到B的过程中，利用方程即可求得；
（2）分Q从C到A的时间是3秒，P从B到C的时间是3秒，则可以分当0≤t≤2时，若△PCQ为等腰三角形，则一定有：PC=CQ，和当2＜t≤3时，若△PCQ为等腰三角形，则一定有PQ=PC两种情况进行讨论求得t的值；
（3）在点Q从点B返回点A的运动过程中，P一定在AC上，则PC的长度是t-3，然后利用相似三角形的性质即可利用t表示出s的值，然后利用二次函数的性质即可求得t的值，从而求解．
【解析】
（1）在直角△ABC中，AC==4，
则Q从C到B经过的路程是9，需要的时间是4.5秒．此时P运动的路程是4.5，P和Q之间的距离是：3+4+5-4.5=7.5．
根据题意得：（t-4.5）+2（t-4.5）=7.5，解得：t=7．

（2）Q从C到A的时间是2秒，P从B到C的时间是3秒．
则当0≤t≤2时，若△PCQ为等腰三角形，则一定有：PC=CQ，即3-t=2t，解得：t=1．
当2＜t≤3时，若△PCQ为等腰三角形，则一定有PQ=QC（如图1）．则Q在PC的中垂线上，作QH⊥AC，则QH=PC．△AQH∽△ABC，
在直角△AQH中，AQ=2t-4，则QH=AQ=．
∵PC=BC-BP=3-t，
∴（2t-4）=（3-t），
解得：t=；

（3）连接DC（即AD的折叠线）交PQ于点O，过Q作QE⊥CA于点E，过O作OF⊥CA于点F，
则△PCO即为折叠后的△APD与△PCQ重叠部分的面积．
在点Q从点B返回点A的运动过程中，P一定在AC上，则PC=t-3，BQ=2t-9，即AQ=5-（2t-9）=14-2t．
同（2）可得：△PCQ中，PC边上的高是：（14-2t），
故s=（t-3）×（14-2t）=（-t2+10t-21）．
故当t=5时，s有最大值，此时，P在AC的中点．（如图2）．
∵沿直线PD折叠，使点A落在直线PC上，
∴PD一定是AC的中垂线．
则AP=AC=2，PD=BC=，
AQ=14-2t=14-2×5=4．
则PC边上的高是：AQ=×4=．
∵∠COF=∠CDP=∠B，
所以，tan∠COF=，设OF为x，
则利用三角函数得CF=，PF=2-，
则QE=，AE=，
∴PE=，
∵△POF∽△PQE，
∴=，
解得：x=，
S△PCO=×2×=．