Question

如图，已知抛物线经过A（1，0），B（0，3）两点，对称轴是x=-1．
（1）求抛物线对应的函数关系式；
（2）动点Q从点O出发，以每秒1个单位长度的速度在线段OA上运动，同时动点M从O点出发以每秒3个单位长度的速度在线段OB上运动，过点Q作x轴的垂线交线段AB于点N，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒．
①当t为何值时，四边形OMPQ为矩形；
②△AON能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．

Answer

（1）利用顶点式、待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）①当四边形OMPQ为矩形时，满足条件OM=PQ，据此列一元二次方程求解；
②△AON为等腰三角形时，可能存在三种情形，需要分类讨论，逐一计算．
【解析】
（1）根据题意，设抛物线的解析式为：y=a（x+1）2+k，
∵点A（1，0），B（0，3）在抛物线上，
∴，
解得：a=-1，k=4，
∴抛物线的解析式为：y=-（x+1）2+4．

（2）①∵四边形OMPQ为矩形，
∴OM=PQ，即3t=-（t+1）2+4，
整理得：t2+5t-3=0，
解得t=，由于t=＜0，故舍去，
∴当t=秒时，四边形OMPQ为矩形；
②Rt△AOB中，OA=1，OB=3，∴tanA=3．
若△AON为等腰三角形，有三种情况：

（I）若ON=AN，如答图1所示：
过点N作ND⊥OA于点D，则D为OA中点，OD=OA=，
∴t=；
（II）若ON=OA，如答图2所示：
过点N作ND⊥OA于点D，设AD=x，则ND=AD•tanA=3x，OD=OA-AD=1-x，
在Rt△NOD中，由勾股定理得：OD2+ND2=ON2，
即（1-x）2+（3x）2=12，解得x1=，x2=0（舍去），
∴x=，OD=1-x=，
∴t=；
（III）若OA=AN，如答图3所示：
过点N作ND⊥OA于点D，设AD=x，则ND=AD•tanA=3x，
在Rt△AND中，由勾股定理得：ND2+AD2=AN2，
即（x）2+（3x）2=12，解得x1=，x2=-（舍去），
∴OD=1-x=1-，
∴t=1-．
综上所述，当t为秒、秒、（1-）秒时，△AON为等腰三角形．