Question

如图，已知在△ABP中，C是BP边上一点，∠PAC=∠PBA，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，且交BP于点E．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）过点C作CF⊥AD，垂足为点F，延长CF交AB于点G，若AG•AB=12，求AC的长；
（3）在满足（2）的条件下，若AF：FD=1：2，GF=1，求⊙O的半径及sin∠ACE的值．

Answer

（1）根据圆周角定理得出∠ACD=90°以及利用∠PAC=∠PBA得出∠CAD+∠PAC=90°进而得出答案；
（2）首先得出△CAG∽△BAC，进而得出AC2=AG•AB，求出AC即可；
（3）先求出AF的长，根据勾股定理得：AG=，即可得出sin∠ADB=，利用∠ACE=∠ACB=∠ADB，求出即可．
（1）证明：连接CD，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD=90°，
∴∠CAD+∠ADC=90°，
又∵∠PAC=∠PBA，∠ADC=∠PBA，
∴∠PAC=∠ADC，
∴∠CAD+∠PAC=90°，
∴PA⊥OA，而AD是⊙O的直径，
∴PA是⊙O的切线；

（2）【解析】
由（1）知，PA⊥AD，又∵CF⊥AD，∴CF∥PA，
∴∠GCA=∠PAC，又∵∠PAC=∠PBA，
∴∠GCA=∠PBA，而∠CAG=∠BAC，
∴△CAG∽△BAC，
∴=，
即AC2=AG•AB，
∵AG•AB=12，
∴AC2=12，
∴AC=2；

（3）【解析】
设AF=x，∵AF：FD=1：2，∴FD=2x，
∴AD=AF+FD=3x，
在Rt△ACD中，∵CF⊥AD，∴AC2=AF•AD，
即3x2=12，
解得；x=2，
∴AF=2，AD=6，∴⊙O半径为3，
在Rt△AFG中，∵AF=2，GF=1，
根据勾股定理得：AG===，
由（2）知，AG•AB=12，
∴AB==，
连接BD，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD=90°，
在Rt△ABD中，∵sin∠ADB=，AD=6，
∴sin∠ADB=，
∵∠ACE=∠ACB=∠ADB，
∴sin∠ACE=．