Question

已知抛物线y=x²-3x-的顶点为点D，并与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C．
（1）求点A、B、C、D的坐标；
（2）在y轴的正半轴上是否存在点P，使以点P、O、A为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）取点E（-，0）和点F（0，-），直线l经过E、F两点，点G是线段BD的中点．
①点G是否在直线l上，请说明理由；
②在抛物线上是否存在点M，使点M关于直线l的对称点在x轴上？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）令y=0，解关于x的一元二次方程求出A、B的坐标，令x=0求出点C的坐标，再根据顶点坐标公式计算即可求出顶点D的坐标；
（2）根据点A、C的坐标求出OA、OC的长，再分OA和OA是对应边，OA和OC是对应边两种情况，利用相似三角形对应边成比例列式求出OP的长，从而得解；
（3）①设直线l的解析式为y=kx+b（k≠0），利用待定系数法求一次函数解析式求出直线l的解析式，再利用中点公式求出点G的坐标，然后根据直线上点的坐标特征验证即可；
②设抛物线的对称轴与x轴交点为H，求出OE、OF、HD、HB的长，然后求出△OEF和△HDB相似，根据相似三角形对应角相等求出∠OFE=∠HBD，然后求出EG⊥BD，从而得到直线l是线段BD的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质点D关于直线l的对称点就是B，从而判断出点M就是直线DE与抛物线的交点，再设直线DE的解析式为y=mx+n，利用待定系数法求一次函数解析求出直线DE的解析式，然后与抛物线解析式联立求解即可得到符合条件的点M．
【解析】
（1）令y=0，则x2-3x-=0，整理得，4x2-12x-7=0，
解得x1=-，x2=，
所以，A（-，0），B（，0），
令x=0，则y=-，
所以，C（0，-），
∵-=-=，==-4，
∴顶点D（，-4）；

（2）在y轴正半轴上存在符合条件的点P，设点P的坐标为（0，y），
∵A（-，0），C（0，-），
∴OA=，OC=，OP=y，
①若OA和OA是对应边，则△AOP∽△AOC，
∴=，
y=OC=，
此时点P（0，），
②若OA和OC是对应边，则△POA∽△AOC，
∴=，
即=，
解得y=，
此时点P（0，），
所以，符合条件的点P有两个，P（0，）或（0，）；

（3）①设直线l的解析式为y=kx+b（k≠0），
∵直线l经过点E（-，0）和点F（0，-），
∴，
解得，
所以，直线l的解析式为y=-x-，
∵B（，0），D（，-4），
（+）=，[0+（-4）]=-2，
∴线段BD的中点G的坐标为（，-2），
当x=时，y=-×-=-2，
所以，点G在直线l上；

②在抛物线上存在符合条件的点M．
设抛物线的对称轴与x轴交点为H，则点H的坐标为（，0），
∵E（-，0）、F（0，-），B（，0）、D（，-4），
∴OE=，OF=，HD=4，HB=-=2，
∵==，∠OEF=∠HDB，
∴△OEF∽△HDB，
∴∠OFE=∠HBD，
∵∠OEF+∠OFE=90°，
∴∠OEF+∠HBD=90°，
∴∠EGB=180°-（∠OEF+∠HBD）=180°-90°=90°，
∴直线l是线段BD的垂直平分线，
∴点D关于直线l的对称点就是点B，
∴点M就是直线DE与抛物线的交点，
设直线DE的解析式为y=mx+n，
∵D（，-4），E（-，0），
∴，
解得，
所以，直线DE的解析式为y=-x-2，
联立，
解得，，
∴符合条件的点M有两个，是（，-4）或（，-）．