Question

如图，在△ABC中，AB=10，AC=6，BC=8，⊙O为△ABC的内切圆，点D是斜边AB的中点，则tan∠ODA=    ．

Answer

根据勾股定理的逆定理求出∠C=90°，连接OE、OF、OQ，证四边形CEOF是正方形，求出半径OE，求出QA，求出DQ、OQ的长度，即可求出答案．
【解析】
∵AB2=100，AC2+BC2=100，
∴AC2+BC2=AB2，
∴∠C=90°，
连接OE、OF、OQ，
∵⊙O为△ABC的内切圆，
∴∠C=∠OEC=∠OFC=90°，OE=OF，BE=BQ，AQ=AF，CE=CF，
∴四边形CEOF是正方形，
∴CE=CF=OE=OF，
∴BC-OE+AC-OE=AB，
∴OE=OQ=（6+8-10）=2，
∴AQ=AF=6-2=4，
∵D为AB的中点，
∴AD=AB=5，
∴DQ=5-4=1，
∴tan∠ODA===2．
故答案为：2．