Question

如图，在▱ABCD中，EF∥BD，分别交BC，CD于点P，Q，交AB，AD的延长线于点E、F．已知BE=BP．
求证：（1）∠E=∠F；（2）▱ABCD是菱形．

Answer

（1）四边形ABCD是平行四边形，则BC∥AF，可得同位角∠BPE=∠F；在等腰△BEP中，∠E=∠BPE，等量代换后即可证得所求的结论；
（2）由EF∥BD，可得同位角∠ABD=∠E，∠ADB=∠F；由（1）知∠E=∠F，等量代换后可证得∠ABD=∠ADB，即AB=AD，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可判定四边形ABCD是菱形．
证明：（1）在▱ABCD中，BC∥AF，
∴∠1=∠F，
∵BE=BP，
∴∠E=∠1，
∴∠E=∠F；

（2）∵BD∥EF，
∴∠2=∠E，∠3=∠F，
∵∠E=∠F，
∴∠2=∠3，
∴AB=AD，
∴▱ABCD是菱形．