Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=Rt∠，BC=3，AC=4，D在AC上，CD=1，P是边AB上的一动点，设BP=m．
（1）如图甲，当m为何值时，△ADP与△ABC相似；
（2）如图乙，延长DP至点E，使EP=DP，连结AE，BE．
①四边形AEBC的面积S会随m的变化而变化吗？若不变，求出S的值；若变化，求出S与m的函数关系式；
②作点E关于直线AB的对称点Eˊ，连结BD，当∠DBA=2∠DEEˊ时，求m的值．

Answer

（1）根据若△ADP与△ABC相似，则或，列出算式，再计算即可．
（2）①四边形AEBC的面积S不变，分别过D、E作DG⊥AB，EH⊥AB，则∠DGP=∠EHP=90°，再根据∠GPD=∠HPE，DP=EP，得出△DGP≌△EHP，DG=EH，再根据sin∠BAC=，求出EH=DG=×3，最后根据S四边形AEBC=S△ABC+S△ABE代入计算即可；
 ②当E'在D的上方时，则 P E'=PE=PD，∠D E'E=90°，再根据∠DPE'=2∠DEE'=∠ABD，∠PDE'=∠PE'D，得出∠PDE'=∠BPD=∠PE'D=∠BDP，BP=BD=，即可求出m，
当E'在D的下方时，记BD与PE'交于点F，先求出DE'=2PG=2（），再根据BD=BF+DF=BP+DE'=m+=，求出m即可．
【解析】
（1）若△ADP与△ABC相似，
则=或=，
=或=，
∴m=或m=，
综上所述，当或时，△ADP与△ABC相似；

（2）；①四边形AEBC的面积S不变，且S=，
理由如下：如图①：
分别过D、E作DG⊥AB，EH⊥AB，G、H为垂足，
∴∠DGP=∠EHP=90°，
又∵∠GPD=∠HPE，DP=EP，
∴△DGP≌△EHP，
∴DG=EH，
∵sin∠BAC===，
∴EH=DG=×3=，
∴S四边形AEBC=S△ABC+S△ABE=×3×4+×5×=；

②当E'在D的上方时，如图②
由题意，得 P E'=PE=PD，∠D E'E=90°，
∴∠DPE'=2∠DEE'=∠ABD，∠PDE'=∠PE'D
∴∠PDE'=∠BPD=∠PE'D=∠BDP
∴BP=BD==
∴；
当E'在D的下方时，如图③，记BD与PE'交于点F
由（2）①，得 BF=BP，DF=DE'，
DE'=2PG=2（5-m-）=-2m，
∴BD=BF+DF=BP+DE'
=m+-2m，
=-m=，
∴m=；
综上所述，当m=或m=时，∠DBA=2∠DEE'．