Question

在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=60°，D为BC中点，连结AD，过点D作DE⊥AD，交AB的延长线于E．
（1）若AD=，求△ABC的面积；
（2）求的值．

Answer

（1）Rt△ABC中，∠C所对的直角边是斜边的一半，则AC=2AB．设AB=k，则AC=2k，BC=k；然后，由中点的性质、结合在Rt△ABD中的勾股定理求得k的值；最后，根据直角三角形的面积公式来求△ABC的面积；
（2）由相似三角形△ABD∽△DBE的对应边成比例证得，然后把相关线段的长度代入该比例式即可求得线段BE的长度，再将其代入所求的代数式求值即可．
【解析】
（1）∵∠ABC=90°，∠BAC=60°，
∴∠C=30°，
∴AC=2AB
设AB=k，则AC=2k，BC=k，
∵D为BC中点，
∴BD=DC=k
在Rt△ABD中，AB2+BD2=AD2，AD=
∴k2+（k）2=（）2
∴k=2
∴AB=2，BC=2
∴；

（2）∵AD⊥DE，
∴∠ADE=90°，
∴∠DAE+∠E=90°
∵∠ABC=90°，
∴∠DAE+∠ADB=90°，
∴∠ADB=∠E
∵∠ABD=∠DBE=90°，
∴△ABD∽△DBE
∴
∴，
∴
∴．