Question

已知：如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，EF垂直平分AC，垂足为O，连接AF、CE．
（1）求证：四边形AFCE是菱形；
（2）点P在线段AC上，满足2AE²=AC•AP，求证：CD∥PE．

Answer

（1）首先证明△AOE≌△COE，进而得出EO=OF，得出四边形AFCE是平行四边形，即可利用菱形的判定得出答案；
（2）首先证明AE2=AO•AP，进而得出△AOE∽△AEP，可得出∠AEP=∠D，即可得出答案．
证明：（1）∵四边形ABCD矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EAC=∠ACF，
∵EF平分AC，
∴AO=OC，
在△AOE和△COE中，
，
∴△AOE≌△COE，
∴EO=OF，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∵EF⊥AC，
∴四边形AFCE是菱形．

（2）∵EF垂直平分AC，
∴AC=2AO，∠AOE=90°，
∵2AE2=AC•AP，
∴2AE2=2AO•AP，
∴AE2=AO•AP，
∴，
∵∠EAP=∠OAE，
∴△AOE∽△AEP，
∴∠AEP=∠AOE=90°，
又∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=90°，
∴∠AEP=∠D，
∴CD∥PE．