Question

已知抛物线y=ax²+bx+c过点A（-1，0），B（4，0），P（5，3），抛物线与y轴交于点C．
（1）求二次函数的解析式；
（2）求tan∠APC的值；
（3）在抛物线上求一点Q，过Q点作x轴的垂线，垂足为H，使得∠BQH=∠APC．

Answer

（1）因为抛物线过A（-1，0），B（4，0），P（5，3），所以把以上三个点的坐标分别代入解析式组成方程组求出a和b、c的值即可求出二次函数的解析式；
（2）设x=0，则y=-2，则可求出C点的坐标，由A（-1，0），P（5，3）可求出PA，AC，PC的长，利用勾股定理的逆定理可判定△APC是直角三角形，再由正切的定义即可求出tan∠APC的值；
（3））因为Q抛物线上，所以可设Q的坐标为（x，x2-x-2），如∠BQH=∠APC，则tan∠BQH=tan∠APC=，进而得到关于x的方程，解方程求出符合题意的x值即可取出Q的坐标．
【解析】
（1）∵抛物线y=ax2+bx+c过点A（-1，0），B（4，0），P（5，3），
∴，
解得：，
故抛物线的解析式是y=x2-x-2；

（2）设x=0，则y=-2，
∴抛物线与y轴交于点C的坐标是（0，-2），
∵A（-1，0），P（5，3），
∴PA=3，AC=，PC=5，
∵PA2+AC2=50，PC2=50，
∴PA2+AC2=PC2，
∴△APC是直角三角形，
∴∠PAC=90°，
∵tan∠APC==；

（3）∵Q抛物线上，
∴设Q的坐标为（x，x2-x-2），
则QH=|x2-x-2|，OH=|x-4|，
∵∠BQH=∠APC，
∴tan∠BQH=tan∠APC==，
即=，
∴或，
解得：x1=4，x2=5或x1=4，x2=-7，
∴Q（4，0）（舍），Q（5，3）（舍），Q（-7，33）．
综上所述在抛物线上求一点Q，过Q点作x轴的垂线，垂足为H，使得∠BQH=∠APC时，Q的坐标为（-7，33）．