Question

定义：如图1，点C在线段AB上，若满足AC²=BC•AB，则称点C为线段AB的黄金分割点．
如图2，△ABC中，AB=AC=1，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D．
（1）求证：点D是线段AC的黄金分割点；
（2）求出线段AD的长．

Answer

（1）判断△ABC∽△BDC，根据对应边成比例可得出答案．
（2）根据黄金比值即可求出AD的长度．
【解析】
（1）∵∠A=36°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD=∠ABD=36°，∠BDC=72°，
∴AD=BD，BC=BD，
∴△ABC∽△BDC，
∴=，即=，
∴AD2=AC•CD．
∴点D是线段AC的黄金分割点．

（2）∵点D是线段AC的黄金分割点，
∴AD=AC=．