Question

如图，▱ABCD中，AB=2，以点A为圆心，AB为半径的圆交边BC于点E，连接DE、AC、AE．
（1）求证：△AED≌△DCA；
（2）若DE平分∠ADC且与⊙A相切于点E，求图中阴影部分（扇形）的面积．

Answer

（1）由四边形ABCD是平行四边形，AB=AE，易证得四边形AECD是等腰梯形，即可得AC=DE，然后由SSS，即可证得：△AED≌△DCA；
（2）由DE平分∠ADC且与⊙A相切于点E，可求得∠EAD的度数，继而求得∠BAE的度数，然后由扇形的面积公式求得阴影部分（扇形）的面积．
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD∥BC，
∴四边形AECD是梯形，
∵AB=AE，
∴AE=CD，
∴四边形AECD是等腰梯形，
∴AC=DE，
在△AED和△DCA中，
，
∴△AED≌△DCA（SSS）；

（2）【解析】
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADC=2∠ADE，
∵四边形AECD是等腰梯形，
∴∠DAE=∠ADC=2∠ADE，
∵DE与⊙A相切于点E，
∴AE⊥DE，
即∠AED=90°，
∴∠ADE=30°，
∴∠DAE=60°，
∴∠DCE=∠AEC=180°-∠DAE=120°，
∵四边形ACD是平行四边形，
∴∠BAD=∠DCE=120°，
∴∠BAE=∠BAD-∠EAD=60°，
∴S阴影=×π×22=π．