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如图,抛物线y=ax2+bx+c的开口向下,与x轴交于点A(-3,0)和点B(1...

如图,抛物线y=ax2+bx+c的开口向下,与x轴交于点A(-3,0)和点B(1,0).与y轴交于点C,顶点为D.
(1)求顶点D的坐标.(用含a的代数式表示);
(2)若△ACD的面积为3.
①求抛物线的解析式;
②将抛物线向右平移,使得平移后的抛物线与原抛物线交于点P,且∠PAB=∠DAC,求平移后抛物线的解析式.

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(1)已知抛物线与x轴的两交点的横坐标分别是-3和1,设抛物线解析式的交点式y=a(x+3)(x-1),再配方为顶点式,可确定顶点坐标; (2)①设AC与抛物线对称轴的交点为E,先运用待定系数法求出直线AC的解析式,求出点E的坐标,即可得到DE的长,然后由S△ACD=×DE×OA列出方程,解方程求出a的值,即可确定抛物线的解析式; ②先运用勾股定理的逆定理判断出在△ACD中∠ACD=90°,利用三角函数求出tan∠DAC=.设y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4向右平移后的抛物线解析式为y=-(x+m)2+4,两条抛物线交于点P,直线AP与y轴交于点F.根据正切函数的定义求出OF=1.分两种情况进行讨论:(Ⅰ)如图2①,F点的坐标为(0,1),(Ⅱ)如图2②,F点的坐标为(0,-1).针对这两种情况,都可以先求出点P的坐标,再得出m的值,进而求出平移后抛物线的解析式. 【解析】 (1)∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(-3,0)和点B(1,0), ∴抛物线解析式为y=a(x+3)(x-1)=ax2+2ax-3a, ∵y=a(x+3)(x-1)=a(x2+2x-3)=a(x+1)2-4a, ∴顶点D的坐标为(-1,-4a); (2)如图1,①设AC与抛物线对称轴的交点为E. ∵抛物线y=ax2+2ax-3a与y轴交于点C, ∴C点坐标为(0,-3a). 设直线AC的解析式为:y=kx+t, 则:, 解得:, ∴直线AC的解析式为:y=-ax-3a, ∴点E的坐标为:(-1,-2a), ∴DE=-4a-(-2a)=-2a, ∴S△ACD=S△CDE+S△ADE=×DE×OA=×(-2a)×3=-3a, ∴-3a=3,解得a=-1, ∴抛物线的解析式为y=-x2-2x+3; ②∵y=-x2-2x+3, ∴顶点D的坐标为(-1,4),C(0,3), ∵A(-3,0), ∴AD2=(-1+3)2+(4-0)2=20,CD2=(-1-0)2+(4-3)2=2,AC2=(0+3)2+(3-0)2=18, ∴AD2=CD2+AC2, ∴∠ACD=90°, ∴tan∠DAC===, ∵∠PAB=∠DAC, ∴tan∠PAB=tan∠DAC=. 如图2,设y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4向右平移后的抛物线解析式为y=-(x+m)2+4,两条抛物线交于点P,直线AP与y轴交于点F. ∵tan∠PAB===, ∴OF=1,则F点的坐标为(0,1)或(0,-1). 分两种情况: (Ⅰ)如图2①,当F点的坐标为(0,1)时,易求直线AF的解析式为y=x+1, 由,解得,(舍去), ∴P点坐标为(,), 将P点坐标(,)代入y=-(x+m)2+4, 得=-(+m)2+4, 解得m1=-,m2=1(舍去), ∴平移后抛物线的解析式为y=-(x-)2+4; (Ⅱ)如图2②,当F点的坐标为(0,-1)时,易求直线AF的解析式为y=-x-1, 由,解得,(舍去), ∴P点坐标为(,-), 将P点坐标(,-)代入y=-(x+m)2+4, 得-=-(+m)2+4, 解得m1=-,m2=1(舍去), ∴平移后抛物线的解析式为y=-(x-)2+4; 综上可知,平移后抛物线的解析式为y=-(x-)2+4或y=-(x-)2+4.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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