Question

如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，A点的坐标为（3，0），以OA为边作等边三角形OAB，点B在第一象限，过点B作AB的垂线交x轴于点C，动点P从O点出发沿OC向C点运动，动点Q从B点出发沿BA向A点运动，P，Q两点同时出发速度均为1个单位/秒，设运动时间为t秒．
（1）求线段BC的长；
（2）连接PQ交线段OB于点E．过点E作x轴的平行线交线段BC于点F．设线段EF的长为m，求m与t之间的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，将△BEF绕点B逆时针旋转得到△BE′F′，使点E的对应点E′落在线段AB上，点F的对应点是F′，E′F′交x轴于点G，连接PE，QG，当t为何值时，2BQ-PF=QG？

Answer

（1）根据等边三角形的性质得出∠ABC=90°，进而得出CO=OB=AB=OA=3，以及AC=6，求出BC即可；
（2）过点Q作QN∥OB交x轴于点N，得出△AQN为等边三角形，由OE∥QN，得出△POE∽△PNQ，以及=，表示出OE的长，利用m=BE=OB-OE求出即可；
（3）首先得出△AE′C为等边三角形，进而得出∠QGA=90°，由EF∥OC，得出=，再得出△FCP∽△BCA，利用2BQ-PF=QG求出t的值即可．
【解析】
（1）如图1，∵△AOB为等边三角形，
∴∠BAC=∠AOB=60°，
∵BC⊥AB，
∴∠ABC=90°，
∴∠ACB=30°，∠OBC=30°，
∴∠ACB=∠OBC，
∴CO=OB=AB=OA=3，
∴AC=6，
∴BC=ACcos30°=AC=3；

（2）如图1，过点Q作QN∥OB交x轴于点N，
∴∠QNA=∠BOA=60°=∠QAN，
∴QN=QA，
∴△AQN为等边三角形，
∴NQ=NA=AQ=3-t，
∴ON=3-（3-t）=t，
∴PN=t+t=2t，
∵OE∥QN，
∴△POE∽△PNQ，
∴=，
∴=，
∴OE=-t，
∵EF∥x轴，
∴∠BFE=∠BCO=∠FBE=30°，
∴EF=BE，
∴m=BE=OB-OE=t+（0＜t＜3）；

（3）如备用图：
∵∠BE′F′=∠BEF=180°-∠EBF-∠EFB=120°，
∴∠AE′C=60°=∠E′AC，
∴GE′=GA，
∴△AE′G为等边三角形，
∵Q′E=BE′-BQ=m-t=t+-t=-
∴GE′=GA=AE′=AB-BE′=-t=QE′，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，
∴∠2+∠3=90°，
即∠QGA=90°，
∴QG=AG=-t，
∵EF∥OC，
∴=，
∴=，
∴BF=m=t+，
∵CF=BC-BF=-t，CP=CO-OP=3-t，
∴===
∵∠FCP=∠BCA，
∴△FCP∽△BCA，
∴=，
∴PF=，
∵2BQ-PF=QG，
∴2t-=×（-t）
解得：t=1，
∴当t=1时，2BQ-PF=QG．