Question

已知：△ABD和△CBD关于直线BD对称（点A的对称点是点C），点E，F分别是线段BC和线段BD上的点，且点F在线段EC的垂直平分线上，连接AF，AE，AE交BD于点G．
（1）如图1，求证：∠EAF=∠ABD；
（2）如图2，当AB=AD时，M是线段AG上一点，连接BM，ED，MF，MF的延长线交ED于点N，∠MBF=∠BAF，AF=AD，试探究FM和FN之间的数量关系，并证明你的结论．

Answer

（1）如图1，连接FE、FC，构建全等三角形△ABF≌△CBF（SAS），则易证∠BAF=∠2，FA=FC；根据垂直平分线的性质、等量代换可知FE=FA，∠1=∠BAF，则∠5=∠6．然后由四边形内角和是360°、三角形内角和定理求得∠5+∠6=∠3+∠4，则∠5=∠4，即∠EAF=∠ABD；
（2）FM=FN．理由如下：由△AFG∽△BFA，易得∠AGF=∠BAF，所以结合已知条件和图形得到∠MBG=∠BMG．易证△AGF∽△DGA，则对应边成比例：==．即==．
设GF=2a（a＞0），AG=3a，则GD=a，FD=a；利用平行线（BE∥AD）截线段成比例易得=，则==．设EG=2k（k＞0），所以BG=MG=3k．如图2，过点F作FQ∥ED交AE于点Q．则===，又由FQ∥ED，易证得==，所以FM=FN．
（1）证明：如图1，连接FE、FC．
∵点F在线段EC的垂直平分线上，
∴FE=FC，
∴∠1=∠2．
∵△ABD和△CBD关于直线BD对称（点A的对称点是点C），
∴AB=CB，∠4=∠3，
∵在△ABF与△CBF中，
，
∴△ABF≌△CBF（SAS），
∴∠BAF=∠2，FA=FC，
∴FE=FA，∠1=∠BAF，
∴∠5=∠6．
∵∠1+∠BEF=180°，
∴∠BAF+∠BEF=180°
∵∠BAF+∠BEF+∠AFE+∠ABE=360°，
∴∠AFE+∠ABE=180°．
又∵∠AFE+∠5+∠6=180°，
∴∠5+∠6=∠3+∠4，
∴∠5=∠4，即∠EAF=∠ABD；

（2）FM=FN．理由如下：
如图2，由（1）知，∠EAF=∠ABD．
又∵∠AFB=∠GFA，
∴△AFG∽△BFA，
∴∠AGF=∠BAF．
又∵∠MBF=∠BAF，
∴∠MBF=∠AGF．
∵∠AGF=∠MBG+∠BMG，
∴∠MBG=∠BMG，
∴BG=MG．
∵AB=AD，
∴∠ADB=∠ABD=∠EAF．
又∵∠FGA=∠AGD，
∴△AGF∽△DGA，
∴==．
∵AF=AD，
∴==．
设GF=2a（a＞0），AG=3a，
∴GD=a，
∴FD=a
∵∠CBD=∠ABD，∠ABD=∠ADB，
∴∠CBD=∠ADB，
∴BE∥AD，
∴=，
∴==．
设EG=2k（k＞0），
∴BG=MG=3k．
如图2，过点F作FQ∥ED交AE于点Q．则===，
∴GQ=QE，
∴GQ=EG=k，MQ=3k+k=k．
∵FQ∥ED，
∴==，
∴FM=FN．