Question

已知二次函数y=-x²+4mx-8m+4：
（1）证明：当m为整数时，抛物线y=-x²+4mx-8m+4与x轴交点的横坐标均为整数；
（2）以抛物线y=-x²+4mx-8m+4的顶点A为等腰Rt△的直角顶点，作该抛物线的内接等腰Rt△ABC（B、C两点在抛物线上），求Rt△ABC的面积（图中给出的是m取某一值时的示意图）；
（3）若抛物线y=-x²+4mx-8m+4与直线y=7交点的横坐标均为整数，求整数m的值．

Answer

（1）令函数值为0，将所得方程利用因式分解法得出两个方程的根，由m为整数先证得这两个根为整数，即可判定抛物线与x轴的横坐标均为整数．
（2）由抛物线的解析式，可确定顶点A的坐标；设出点B的坐标后，先表示出BD、AD的长（点D为抛物线对称轴和BC的交点），由等腰直角三角形的特点可得到BD=AD，据此求出BD的长，进而可求得△ABC的面积．
（3）联立两个函数的解析式，通过所得方程先求出这个方程的两个根，然后通过这两个根都是整数确定m的整数值．
【解析】
（1）证明：令y=0，得：-x2+4mx-8m+4=0，即：（-x+2）（x-4m+2）=0
解得：x1=2、x2=4m-2；
∵m为整数，
∴x2=4m-2也是整数；
因此，当m为整数时，抛物线y=-x2+4mx-8m+4与x轴交点的横坐标均为整数．

（2）求得顶点A（2m，4m2-8m+4），根据抛物线的轴对称性可知：BC∥x轴；
设抛物线的对称轴与BC的交点为D，设B（a，b），则 D（2m，b）．
∴BD=2m-a，（2m＞a）
AD=4m2-8m+4-b=4m2-8m+4-（-a2+4ma-8m+4）=（2m-a）2；
∵AD=BD，∴（2m-a）2=（2m-a），解得 2m-a=1或2m-a=0（舍去）；
∴S△ABC=•BC•AD=•2BD•AD=1．

（3）由-x2+4mx-8m+4=7，x==2m±，
当x为整数时，须 4m2-8m-3 为完全平方数，设 4m2-8m-3=n2 （n是整数）整理得：
（2m-2）2-n2=7，即 （2m-2+n）（2m-2-n）=7
两个整数的积为7，∴或或或
解得：或或或
综上，得：m=3或m=-1；
∴抛物线与直线y=7交点的横坐标均为整数时，m=3或m=-1．