Question

已知抛物线y=ax²+bx+c（0＜2a＜b）的顶点为P（x，y），点A（1，y_A）、B（0，y_B）、C（-1，y_C）在该抛物线上．
（Ⅰ）当a=1，b=4，c=10时，
①求顶点P的坐标；
②求的值；
（Ⅱ）当y≥0恒成立时，求的最小值．

Answer

（Ⅰ）将a=1，b=4，c=10代入解析式，即可得到二次函数解析式；
①将二次函数化为顶点式，即可得到抛物线顶点坐标；
②将A（1，yA）、B（0，yB）、C（-1，yC）分别代入解析式，即可求出yA、yB、yC的值，然后计算的值即可；
（Ⅱ）根据0＜2a＜b，求出x=＜-1，作出图中辅助线：点A作AA1⊥x轴于点A1，则AA1=yA，OA1=1．连接BC，过点C作CD⊥y轴于点D，则BD=yB-yC，CD=1．过点A作AF∥BC，交抛物线于点E（x1，yE），交x轴于点F（x2，0），证出Rt△AFA1∽Rt△BCD，得到==1-x2，再根据△AEG∽△BCD得到=1-x1，然后求出yA、yB、yC、yE的表达式，然后y≥0恒成立，得到x2≤x1＜-1，从而利用不等式求出的最小值．
【解析】
（Ⅰ）若a=1，b=4，c=10，
此时抛物线的解析式为y=x2+4x+10．
①∵y=x2+4x+10=（x+2）2+6，
∴抛物线的顶点坐标为P（-2，6）．
②∵点A（1，yA）、B（0，yB）、C（-1，yC）在抛物线y=x2+4x+10上，
∴yA=15，yB=10，yC=7．
∴==5．

（Ⅱ）由0＜2a＜b，得x=＜-1．
由题意，如图过点A作AA1⊥x轴于点A1，则AA1=yA，OA1=1．
连接BC，过点C作CD⊥y轴于点D，则BD=yB-yC，CD=1．
过点A作AF∥BC，交抛物线于点E（x1，yE），交x轴于点F（x2，0），
则∠FAA1=∠CBD．
于是Rt△AFA1∽Rt△BCD．
有，即==1-x2．
过点E作EG⊥AA1于点G，
易得△AEG∽△BCD．
有，即=1-x1．
∵点A（1，yA）、B（0，yB）、C（-1，yC）、E（x1，yE）在抛物线y=ax2+bx+c上，
得yA=a+b+c，yB=c，yC=a-b+c，yE=，
∴=1-x1．
化简，得，
解得x1=-2（x1=1舍去）．
∵y≥0恒成立，根据题意，有x2≤x1＜-1，
则1-x2≥1-x1，即1-x2≥3．
∴的最小值为3．