Question

如图，直线MN与x轴，y轴分别相交于A，C两点，分别过A，C两点作x轴，y轴的垂线相交于B点，且OA，OC（OA＞OC）的长分别是一元二次方程x²-14x+48=0的两个实数根．
（1）求C点坐标；
（2）求直线MN的解析式；
（3）在直线MN上存在点P，使以点P，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出P点的坐标．

Answer

（1）通过解方程x2-14x+48=0可以求得OC=6，OA=8．则C（0，6）；
（2）设直线MN的解析式是y=kx+b（k≠0）．把点A、C的坐标分别代入解析式，列出关于系数k、b的方程组，通过解方程组即可求得它们的值；
（3）需要分类讨论：PB为腰，PB为底两种情况下的点P的坐标．根据等腰三角形的性质、两点间的距离公式以及一次函数图象上点的坐标特征进行解答．
【解析】
（1）解方程x2-14x+48=0得
x1=6，x2=8．
∵OA，OC（OA＞OC）的长分别是一元二次方程x2-14x+48=0的两个实数根，
∴OC=6，OA=8．
∴C（0，6）；

（2）设直线MN的解析式是y=kx+b（k≠0）．
由（1）知，OA=8，则A（8，0）．
∵点A、C都在直线MN上，
∴，
解得，，
∴直线MN的解析式为y=-x+6；

（3）∵A（8，0），C（0，6），
∴根据题意知B（8，6）．
∵点P在直线MNy=-x+6上，
∴设P（a，-a+6）
当以点P，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形时，需要分类讨论：
①当PC=PB时，点P是线段BC的中垂线与直线MN的交点，则P1（4，3）；
②当PC=BC时，a2+（-a+6-6）2=64，
解得，a=，则P2（-，），P3（，）；
③当PB=BC时，（a-8）2+（-a+6-6）2=64，
解得，a=，则-a+6=-，∴P4（，-）．
综上所述，符合条件的点P有：P1（4，3），P2（-，）P3（，），P4（，-）．