Question

如图，点P是菱形ABCD对角线AC上的一点，连接DP并延长DP交边AB于点E，连接BP并延长交边AD于点F，交CD的延长线于点G．
（1）求证：△APB≌△APD；
（2）已知DF：FA=1：2，设线段DP的长为x，线段PF的长为y．
①求y与x的函数关系式；
②当x=6时，求线段FG的长．

Answer

（1）根据菱形的性质得出∠DAP=∠PAB，AD=AB，再利用全等三角形的判定得出△APB≌△APD；
（2）①首先证明△DFP≌△BEP，进而得出=，=，进而得出=，即=，即可得出答案；
②根据①中所求得出PF=PE=4，DP=PB=6，进而得出==，求出即可．
（1）证明：∵点P是菱形ABCD对角线AC上的一点，
∴∠DAP=∠PAB，AD=AB，
∵在△APB和△APD中
，
∴△APB≌△APD（SAS）；

（2）【解析】
①∵△APB≌△APD，
∴DP=PB，∠ADP=∠ABP，
∵在△DFP和△BEP中，
，
∴△DFP≌△BEP（ASA），
∴PF=PE，DF=BE，
∵GD∥AB，
∴=，
∵DF：FA=1：2，
∴=，=，
∴=，
∵=，即=，
∴y=x；

②当x=6时，y=×6=4，
∴PF=PE=4，DP=PB=6，
∵==，
∴=，
解得：FG=5，
故线段FG的长为5．