Question

如图，点O为矩形ABCD的对称中心，AB=10cm，BC=12cm，点E、F、G分别从A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点E的运动速度为1cm/s，点F的运动速度为3cm/s，点G的运动速度为1.5cm/s，当点F到达点C（即点F与点C重合）时，三个点随之停止运动．在运动过程中，△EBF关于直线EF的对称图形是△EB′F．设点E、F、G运动的时间为t（单位：s）．
（1）当t=______s时，四边形EBFB′为正方形；
（2）若以点E、B、F为顶点的三角形与以点F，C，G为顶点的三角形相似，求t的值；
（3）是否存在实数t，使得点B′与点O重合？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）利用正方形的性质，得到BE=BF，列一元一次方程求解即可；
（2）△EBF与△FCG相似，分两种情况，需要分类讨论，逐一分析计算；
（3）本问为存在型问题．假设存在，则可以分别求出在不同条件下的t值，它们互相矛盾，所以不存在．
【解析】
（1）若四边形EBFB′为正方形，则BE=BF，
即：10-t=3t，
解得t=2.5；

（2）分两种情况，讨论如下：
①若△EBF∽△FCG，
则有，即，
解得：t=2.8；
②若△EBF∽△GCF，
则有，即，
解得：t=-14-2（不合题意，舍去）或t=-14+2．
∴当t=2.8s或t=（-14+2）s时，以点E、B、F为顶点的三角形与以点F，C，G为顶点的三角形相似．

（3）假设存在实数t，使得点B′与点O重合．
如图，过点O作OM⊥BC于点M，则在Rt△OFM中，OF=BF=3t，FM=BC-BF=6-3t，OM=5，
由勾股定理得：OM2+FM2=OF2，
即：52+（6-3t）2=（3t）2
解得：t=；

过点O作ON⊥AB于点N，则在Rt△OEN中，OE=BE=10-t，EN=BE-BN=10-t-5=5-t，ON=6，
由勾股定理得：ON2+EN2=OE2，
即：62+（5-t）2=（10-t）2
解得：t=3.9．
∵≠3.9，
∴不存在实数t，使得点B′与点O重合．