Question

如图①，AB是半圆O的直径，以OA为直径作半圆C，P是半圆C上的一个动点（P与点A，O不重合），AP的延长线交半圆O于点D，其中OA=4．
（1）判断线段AP与PD的大小关系，并说明理由；
（2）连接OD，当OD与半圆C相切时，求的长；
（3）过点D作DE⊥AB，垂足为E（如图②），设AP=x，OE=y，求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围．

Answer

（1）AP=PD．理由如下：如图①，连接OP．利用圆周角定理知OP⊥AD．然后由等腰三角形“三合一”的性质证得AP=PD；
（2）由三角形中位线的定义证得CP是△AOD的中位线，则PC∥DO，所以根据平行线的性质、切线的性质易求弧AP所对的圆心角∠ACP=90°；
（3）分类讨论：点E落在线段OA和线段OB上，这两种情况下的y与x的关系式．这两种情况都是根据相似三角形（△APO∽△AED）的对应边成比例来求y与x之间的函数关系式的．
【解析】
（1）AP=PD．理由如下：
如图①，连接OP．
∵OA是半圆C的直径，
∴∠APO=90°，即OP⊥AD．
又∵OA=OD，
∴AP=PD；

（2）如图①，连接PC、OD．
∵OD是半圆C的切线，
∴∠AOD=90°．
由（1）知，AP=PD．
又∵AC=OC，
∴PC∥OD，
∴∠ACP=∠AOD=90°，
∴的长==π；

（3）分两种情况：
①当点E落在OA上（即0＜x≤2时），如图②，连接OP，则∠APO=∠AED．
又∵∠A=∠A，
∴△APO∽△AED，
∴=．
∵AP=x，AO=4，AD=2x，AE=4-y，
∴=，
∴y=-x2+4（0＜x≤2）；
②当点E落在线段OB上（即2＜x＜4）时，如图③，连接OP．
同①可得，△APO∽△AED，
∴=．
∵AP=x，AO=4，AD=2x，AE=4+y，
∴=，
∴y=x2-4（2＜x＜4）．