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如图,△ABC的顶点坐标分别为A(-6,0),B(4,0),C(0,8),把△A...

manfen5.com 满分网如图,△ABC的顶点坐标分别为A(-6,0),B(4,0),C(0,8),把△ABC沿直线BC翻折,点A的对应点为D,抛物线y=ax2-10ax+c经过点C,顶点M在直线BC上.
(1)证明四边形ABCD是菱形,并求点D的坐标;
(2)求抛物线的对称轴和函数表达式;
(3)在抛物线上是否存在点P,使得△PBD与△PCD的面积相等?若存在,直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)根据两点之间的距离公式,勾股定理,翻折的性质可得AB=BD=CD=AC,根据菱形的判定和性质可得点D的坐标; (2)根据对称轴公式可得抛物线的对称轴,设M的坐标为(5,n),直线BC的解析式为y=kx+b,根据待定系数法可求M的坐标,再根据待定系数法求出抛物线的函数表达式; (3)分点P在CD的上面和点P在CD的下面两种情况,根据等底等高的三角形面积相等可求点P的坐标. (1)证明:∵A(-6,0),B(4,0),C(0,8), ∴AB=6+4=10,AC==10, ∴AB=AC, 由翻折可得,AB=BD,AC=CD, ∴AB=BD=CD=AC, ∴四边形ABCD是菱形, ∴CD∥AB, ∵C(0,8), ∴点D的坐标是(10,8); (2)∵y=ax2-10ax+c, ∴对称轴为直线x=-=5. 设M的坐标为(5,n),直线BC的解析式为y=kx+b, ∴, 解得. ∴y=-2x+8. ∵点M在直线y=-2x+8上, ∴n=-2×5+8=-2. 又∵抛物线y=ax2-10ax+c经过点C和M, ∴, 解得. ∴抛物线的函数表达式为y=x2-4x+8; (3)存在. △PBD与△PCD的面积相等,点P的坐标为P1(,),P2(-5,38).
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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