Question

如图，公路AB为东西走向，在点A北偏东36.5°方向上，距离5千米处是村庄M；在点A北偏东53.5°方向上，距离10千米处时村庄N（参考数据；sin36.5°=0.6，cos36.5°=0.8，tan36.5°=0.75）．
（1）求M，N两村之间的距离；
（2）要在公路AB旁修建一个土特产收购站P，使得M，N两村到P的距离之和最短，求这个最短距离．

Answer

（1）过点M作CD∥AB，NE⊥AB，在Rt△ACM中求出CM，AC，在Rt△ANE中求出NE，AE，继而得出MD，ND的长度，在Rt△MND中利用勾股定理可得出MN的长度．
（2）作点N关于AB的对称点G，连接MG交AB于点P，点P即为站点，求出MG的长度即可．
【解析】
（1）过点M作CD∥AB，NE⊥AB，如图：

在Rt△ACM中，∠CAM=36.5°，AM=5km，
∵sin36.5°==0.6，
∴CM=3，AC==4km，
在Rt△ANE中，∠NAE=90°-53.5°=36.5°，AN=10km，
∵sin36.5°==0.6，
∴NE=6，AE==8km，
∴MD=CD-CM=AE-CM=5km，ND=NE-DE=NE-AC=2km，
在Rt△MND中，MN==km．

（2）作点N关于AB的对称点G，连接MG交AB于点P，点P即为站点，
此时PM+PN=PM+PG=MG，
在Rt△MDG中，MG===5km．
答：最短距离为5km．