Question

如图，已知二次函数的图象过点A（0，-3），B（，），对称轴为直线x=-，点P是抛物线上的一动点，过点P分别作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，在四边形PMON上分别截取PC=MP，MD=OM，OE=ON，NF=NP．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）求证：以C、D、E、F为顶点的四边形CDEF是平行四边形；
（3）在抛物线上是否存在这样的点P，使四边形CDEF为矩形？若存在，请求出所有符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）利用顶点式和待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）证明△PCF≌△OED，得CF=DE；证明△CDM≌△FEN，得CD=EF．这样四边形CDEF两组对边分别对应相等，所以四边形CDEF是平行四边形；
（3）根据已知条件，利用相似三角形△PCF∽△MDC，可以证明矩形PMON是正方形．这样点P就是抛物线y=x2+x-3与坐标象限角平分线y=x或y=-x的交点，联立解析式解方程组，分别求出点P的坐标．符合题意的点P有四个，在四个坐标象限内各一个．
（1）【解析】
设抛物线的解析式为：y=a（x+）2+k，
∵点A（0，-3），B（，）在抛物线上，
∴，
解得：a=1，k=．
∴抛物线的解析式为：y=（x+）2=x2+x-3．

（2）证明：如右图，连接CD、DE、EF、FC．
∵PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，
∴四边形PMON为矩形，
∴PM=ON，PN=OM．
∵PC=MP，OE=ON，
∴PC=OE；
∵MD=OM，NF=NP，
∴MD=NF，
∴PF=OD．
在△PCF与△OED中，

∴△PCF≌△OED（SAS），
∴CF=DE．
同理可证：△CDM≌△FEN，
∴CD=EF．
∵CF=DE，CD=EF，
∴四边形CDEF是平行四边形．

（3）【解析】
假设存在这样的点P，使四边形CDEF为矩形．
设矩形PMON的边长PM=ON=m，PN=OM=n，则PC=m，MC=m，MD=n，PF=n．
若四边形CDEF为矩形，则∠DCF=90°，易证△PCF∽△MDC，
∴，即，化简得：m2=n2，
∴m=n，即矩形PMON为正方形．
∴点P为抛物线y=x2+x-3与坐标象限角平分线y=x或y=-x的交点．
联立，
解得，，
∴P1（，），P2（-，-）；
联立，
解得，，
∴P3（-3，3），P4（-1，1）．
∴抛物线上存在点P，使四边形CDEF为矩形．这样的点有四个，在四个坐标象限内各一个，其坐标分别为：P1（，），P2（-，-），P3（-3，3），P4（-1，1）．