Question

一块矩形木板，它的右上角有一个圆洞，现设想将它改造成火锅餐桌桌面，要求木板大小不变，且使圆洞的圆心在矩形桌面的对角线的交点上．木工师傅想了一个巧妙的办法，他测量了PQ与圆洞的切点K到点B的距离及相关数据（单位：cm），从点N沿折线NF-FM（NF∥BC，FM∥AB）切割，如图1所示．图2中的矩形EFGH是切割后的两块木板拼接成符合要求的矩形桌面示意图（不重叠，无缝隙，不记损耗），则CN，AM的长分别是    ．

Answer

如图，延长OK交线段AB于点M′，延长PQ交BC于点G，交FN于点N′，设圆孔半径为r．在Rt△KBG中，根据勾股定理，得r=16（cm）．根据题意知，圆心O在矩形EFGH的对角线上，则KN′=AB=42cm，OM′=KM′+r=CB=65cm．则根据图中相关线段间的和差关系求得CN=QG-QN′=44-26=18（cm），AM=BC-PD-KM′=130-50-49=31（cm）．
 【解析】
如图，延长OK交线段MF于点M′，延长PQ交BC于点G，交FN于点N′．
设圆孔半径为r．
在Rt△KBG中，根据勾股定理，得
BG2+KG2=BK2，即（130-50）2+（44+r）2=1002，
解得，r=16（cm）．
根据题意知，圆心O在矩形EFGH的对角线上，则            
KN′=AB=42cm，OM′=KM′+r=CB=65cm．
∴QN′=KN′-KQ=42-16=26（cm），KM′=49（cm），
∴CN=QG-QN′=44-26=18（cm），
∴AM=BC-PD-KM′=130-50-49=31（cm），
综上所述，CN，AM的长分别是18cm、31cm．
故填：18cm、31cm．