Question

如图，A（0，1），M（3，2），N（4，4）．动点P从点A出发，沿y轴以每秒1个单位长的速度向上移动，且过点P的直线l：y=-x+b也随之移动，设移动时间为t秒．
（1）当t=3时，求l的解析式；
（2）若点M，N位于l的异侧，确定t的取值范围；
（3）直接写出t为何值时，点M关于l的对称点落在坐标轴上．

Answer

（1）利用一次函数图象上点的坐标特征，求出一次函数的解析式；
（2）分别求出直线l经过点M、点N时的t值，即可得到t的取值范围；
（3）找出点M关于直线l在坐标轴上的对称点E、F，如解答图所示．求出点E、F的坐标，然后分别求出ME、MF中点坐标，最后分别求出时间t的值．
【解析】
（1）直线y=-x+b交y轴于点P（0，b），
由题意，得b＞0，t≥0，b=1+t．
当t=3时，b=4，
故y=-x+4．

（2）当直线y=-x+b过点M（3，2）时，
2=-3+b，
解得：b=5，
5=1+t，
解得t=4．
当直线y=-x+b过点N（4，4）时，
4=-4+b，
解得：b=8，
8=1+t，
解得t=7．
故若点M，N位于l的异侧，t的取值范围是：4＜t＜7．

（3）如右图，过点M作MF⊥直线l，交y轴于点F，交x轴于点E，则点E、F为点M在坐标轴上的对称点．
过点M作MD⊥x轴于点D，则OD=3，MD=2．
已知∠MED=∠OEF=45°，则△MDE与△OEF均为等腰直角三角形，
∴DE=MD=2，OE=OF=1，
∴E（1，0），F（0，-1）．
∵M（3，2），F（0，-1），
∴线段MF中点坐标为（，）．
直线y=-x+b过点（，），则=-+b，解得：b=2，
2=1+t，
解得t=1．
∵M（3，2），E（1，0），
∴线段ME中点坐标为（2，1）．
直线y=-x+b过点（2，1），则1=-2+b，解得：b=3，
3=1+t，
解得t=2．
故点M关于l的对称点，当t=1时，落在y轴上，当t=2时，落在x轴上．