Question

在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连结CD．
（1）如图1，若点D与圆心O重合，AC=2，求⊙O的半径r；
（2）如图2，若点D与圆心O不重合，∠BAC=25°，请直接写出∠DCA的度数．

Answer

（1）过点O作OE⊥AC于E，根据垂径定理可得AE=AC，再根据翻折的性质可得OE=r，然后在Rt△AOE中，利用勾股定理列式计算即可得解；
（2）连接BC，根据直径所对的圆周角是直角求出∠ACB，根据直角三角形两锐角互余求出∠B，再根据翻折的性质得到所对的圆周角，然后根据∠ACD等于所对的圆周角减去所对的圆周角，计算即可得解．
【解析】
（1）如图，过点O作OE⊥AC于E，
则AE=AC=×2=1，
∵翻折后点D与圆心O重合，
∴OE=r，
在Rt△AOE中，AO2=AE2+OE2，
即r2=12+（r）2，
解得r=；

（2）连接BC，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠BAC=25°，
∴∠B=90°-∠BAC=90°-25°=65°，
根据翻折的性质，所对的圆周角等于所对的圆周角，
∴∠ADC+∠B=180°，
∴∠B=∠CDB=65°，
∴∠DCA=∠CDB-∠A=65°-25°=40°．