Question

如图所示，在正方形ABCD中，点G是边BC上任意一点，DE⊥AG，垂足为E，延长DE交AB于点F．在线段AG上取点H，使得AG=DE+HG，连接BH．求证：∠ABH=∠CDE．

Answer

根据正方形的性质可得AB=AD，∠ABG=∠DAF=90°，再根据同角的余角相等求出∠1=∠2，然后利用“角边角”证明△ABG和△DAF全等，根据全等三角形对应边相等可AF=BG，AG=DF，全等三角形对应角相等可得∠AFD=∠BGA，然后求出EF=HG，再利用“边角边”证明△AEF和△BHG全等，根据全等三角形对应角相等可得∠1=∠3，从而得到∠2=∠3，最后根据等角的余角相等证明即可．
证明：在正方形ABCD中，AB=AD，∠ABG=∠DAF=90°，
∵DE⊥AG，
∴∠2+∠EAD=90°，
又∵∠1+∠EAD=90°，
∴∠1=∠2，
在△ABG和△DAF中，，
∴△ABG≌△DAF（ASA），
∴AF=BG，AG=DF，∠AFD=∠BGA，
∵AG=DE+HG，AG=DE+EF，
∴EF=HG，
在△AEF和△BHG中，，
∴△AEF≌△BHG（SAS），
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∵∠2+∠CDE=∠ADC=90°，
∠3+∠ABH=∠ABC=90°，
∴∠ABH=∠CDE．