Question

若x₁，x₂是关于x的方程x²+bx+c=0的两个实数根，且|x₁|+|x₂|=2|k|（k是整数），则称方程x²+bx+c=0为“偶系二次方程”．如方程x²-6x-27=0，x²-2x-8=0，，x²+6x-27=0，x²+4x+4=0，都是“偶系二次方程”．
（1）判断方程x²+x-12=0是否是“偶系二次方程”，并说明理由；
（2）对于任意一个整数b，是否存在实数c，使得关于x的方程x²+bx+c=0是“偶系二次方程”，并说明理由．

Answer

（1）求出原方程的根，再代入|x1|+|x2|看结果是否为2的整数倍就可以得出结论；
（2）由条件x2-6x-27=0和x2+6x-27=0是偶系二次方程建模，设c=mb2+n，就可以表示出c，然后根据公式法就可以求出其根，再代入|x1|+|x2|就可以得出结论．
【解析】
（1）不是，
解方程x2+x-12=0得，x1=3，x2=-4．
|x1|+|x2|=3+4=7=2×3.5．
∵3.5不是整数，
∴x2+x-12=0不是“偶系二次方程；

（2）存在．理由如下：
∵x2-6x-27=0和x2+6x-27=0是偶系二次方程，
∴假设c=mb2+n，
当b=-6，c=-27时，
-27=36m+n．
∵x2=0是偶系二次方程，
∴n=0时，m=-，
∴c=-b2．
∵是偶系二次方程，
当b=3时，c=-×32．
∴可设c=-b2．
对于任意一个整数b，c=-b2时，
△=b2-4ac，
=4b2．
x=，
∴x1=b，x2=b．
∴|x1|+|x2|=2b，
∵b是整数，
∴对于任何一个整数b，c=-b2时，关于x的方程x2+bx+c=0是“偶系二次方程”．