Question

如图，在锐角△ABC中，∠ACB=45°，AB=1．分别以A、B为直角顶点，向△ABC外作等腰直角三角形ACE和等腰直角三角形BCF，再分别过点E、F作边AB所在直线的垂线，垂足为M，N．

（1）求证：EM+FN=AB；
（2）求△ABC面积的最大值；
（3）当△ABC面积最大时，在直线MN上找一点P，使得EP+FP的值最小，求出这个最小值．（结果可保留根号）

Answer

（1）过C作CG垂直于AB，由EA垂直于AC，利用平角的定义得到一对角互余，再由CG垂直于AG，得到一对角互余，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等及AE=AC，利用AAS得到三角形ACG与三角形AEM全等，利用全等三角形的对应边相等得到EM=AG，同理得到BG=FN，由AB=AG+GB，等量代换即可得证；
（2）在三角形ABC中，由∠ACB的度数及AB的长，利用余弦定理列出关系式，再利用基本不等式变形求出AC•BC的最大值，再利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC面积的最大值；
（3）根据三角形ABC面积最大时，AC=BC，作出E、F关于MN的对称点E′、F′，连接E′F，过G点，当P与G重合时，EP+FP最小，最小距离为E′F，作出△ABC的外接圆，由∠ACB=45°，利用同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得到∠AOB=90°，再由OA=OB，得到三角形AOB为等腰直角三角形，由AB的长求出三角形ABC外接圆半径长，以及OG的长，由CO+OG求出CG的长，即为MA与NB的长，由MA+AB+NB求出MN长，即为E′F′长，在直角三角形E′FF′中，由E′F′与FF′长，利用勾股定理求出E′F的长，即为EP+FP的最小值．
【解析】
（1）过C作CG⊥AB，
∴∠CAG+∠ACG=90°，
∵△AEC为等腰直角三角形，
∴∠EAC=90°，AE=AC，
∴∠CAG+∠EAM=90°，
∴∠ACG=∠EAM，
∵在△ACG和△EAM中，
，
∴△ACG≌△EAM（AAS），
∴EM=AG，
同理GB=FN，
∴AB=AG+GB=EM+FN；

（2）在△ABC中，∠ACB=45°，AB=1，
∴根据余弦定理得：AB2=AC2+BC2-2AC•BCcos∠ACB，
即1=AC2+BC2-AC•BC≥2AC•BC-AC•BC=（2-）AC•BC，
∴AC•BC≤=，即AC•BC的最大值为，此时AC=BC取等号，
则△ABC面积的最大值为AC•BCcos∠ACB=；

（3）当△ABC面积最大时，AC=BC，作出E、F关于MN的对称点E′、F′，连接E′F，过G点，
当P与G重合时，EP+FP最小，最小距离为E′F，
作出△ABC的外接圆，∵∠ACB=45°，∴∠AOB=90°，
∵OA=OB，∴△AOB为等腰直角三角形，
∵AB=1，∴OA=OB=OC=，OG=AG=BG=，
∴MA=CG=NB=，
∴E′F′=MN=MA+AB+NB=2CG+AB=+1+1=+2，FF′=1，
在Rt△E′FF′中，根据勾股定理得：E′F==，
则EP+FP的最小值为．