Question

如图1，已知点A（a，0），B（0，b），且a、b满足，▱ABCD的边AD与y轴交于点E，且E为AD中点，双曲线经过C、D两点．
（1）求k的值；
（2）点P在双曲线上，点Q在y轴上，若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，试求满足要求的所有点P、Q的坐标；
（3）以线段AB为对角线作正方形AFBH（如图3），点T是边AF上一动点，M是HT的中点，MN⊥HT，交AB于N，当T在AF上运动时，的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围；若不改变，请求出其值，并给出你的证明．

Answer

（1）先根据非负数的性质求出a、b的值，故可得出A、B两点的坐标，设D（1，t），由DC∥AB，可知C（2，t-2），再根据平行四边形的性质求出t的值即可；
（2）由（1）知k=4可知反比例函数的解析式为y=，再由点P在双曲线上，点Q在y轴上，设Q（0，y），P（x，），再分以AB为边和以AB为对角线两种情况求出x的值，故可得出P、Q的坐标；
（3）连NH、NT、NF，易证NF=NH=NT，故∠NTF=∠NFT=∠AHN，∠TNH=∠TAH=90°，MN=HT由此即可得出结论．
【解析】
（1）∵+（a+b+3）2=0，且≥0，（a+b+3）2≥0，
∴，
解得：，
∴A（-1，0），B（0，-2），
∵E为AD中点，
∴xD=1，
设D（1，t），
又∵DC∥AB，
∴C（2，t-2），
∴t=2t-4，
∴t=4，
∴k=4；

（2）∵由（1）知k=4，
∴反比例函数的解析式为y=，
∵点P在双曲线上，点Q在y轴上，
∴设Q（0，y），P（x，），
①当AB为边时：
如图1所示：若ABPQ为平行四边形，则=0，解得x=1，此时P1（1，4），Q1（0，6）；
如图2所示；若ABQP为平行四边形，则=，解得x=-1，此时P2（-1，-4），Q2（0，-6）；
②如图3所示；当AB为对角线时：AP=BQ，且AP∥BQ；
∴=，解得x=-1，
∴P3（-1，-4），Q3（0，2）；
故P1（1，4），Q1（0，6）；P2（-1，-4），Q2（0，-6）；P3（-1，-4），Q3（0，2）；

（3）连NH、NT、NF，
∵MN是线段HT的垂直平分线，
∴NT=NH，
∵四边形AFBH是正方形，
∴∠ABF=∠ABH，
在△BFN与△BHN中，
∵，
∴△BFN≌△BHN，
∴NF=NH=NT，
∴∠NTF=∠NFT=∠AHN，
∴∠TNH=∠TAH=90°，
∴MN=HT，
∴=．