Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D在边AB上，连接CD，将线段CD绕点C顺时针旋转90°至CE位置，连接AE．
（1）求证：AB⊥AE；
（2）若BC²=AD•AB，求证：四边形ADCE为正方形．

Answer

（1）根据旋转的性质得到∠DCE=90°，CD=CE，利用等角的余角相等得∠BCD=∠ACE，然后根据“SAS”可判断△BCD≌△ACE，则∠B=∠CAE=45°，所以∠DAE=90°，即可得到结论；
（2）由于BC=AC，则AC2=AD•AB，根据相似三角形的判定方法得到△DAC∽△CAB，则∠CDA=∠BCA=90°，可判断四边形ADCE为矩形，利用CD=CE可判断四边形ADCE为正方形．
证明：（1）∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠B=∠BAC=45°，
∵线段CD绕点C顺时针旋转90°至CE位置，
∴∠DCE=90°，CD=CE，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACB-∠ACD=∠DCE-∠ACD，
即∠BCD=∠ACE，
在△BCD和△ACE中
，
∴△BCD≌△ACE，
∴∠B=∠CAE=45°，
∴∠BAE=45°+45°=90°，
∴AB⊥AE；

（2）∵BC2=AD•AB，
而BC=AC，
∴AC2=AD•AB，
∵∠DAC=∠CAB，
∴△DAC∽△CAB，
∴∠CDA=∠BCA=90°，
而∠DAE=90°，∠DCE=90°，
∴四边形ADCE为矩形，
∵CD=CE，
∴四边形ADCE为正方形．