Question

如图，△ABC内接于⊙O，弦AD⊥AB交BC于点E，过点B作⊙O的切线交DA的延长线于点F，且∠ABF=∠ABC．
（1）求证：AB=AC；
（2）若AD=4，cos∠ABF=，求DE的长．

Answer

（1）由BF是⊙O的切线，利用弦切角定理，可得∠3=∠C，又由∠ABF=∠ABC，可证得∠2=∠C，即可得AB=AC；
（2）首先连接BD，在Rt△ABD中，解直角三角形求出AB的长度；然后在Rt△ABE中，解直角三角形求出AE的长度；最后利用DE=AD-AE求得结果．
（1）证明：∵BF是⊙O的切线，
∴∠3=∠C，
∵∠ABF=∠ABC，
即∠3=∠2，
∴∠2=∠C，
∴AB=AC；

（2）【解析】
如图，连接BD，在Rt△ADB中，∠BAD=90°，
∵cos∠ADB=，∴BD====5，
∴AB=3．
在Rt△ABE中，∠BAE=90°，
∵cos∠ABE=，∴BE===，
∴AE==，
∴DE=AD-AE=4-=．