Question

如图，抛物线y=x²-2x-8交y轴于点A，交x轴正半轴于点B．
（1）求直线AB对应的函数关系式；
（2）有一宽度为1的直尺平行于y轴，在点A、B之间平行移动，直尺两长边所在直线被直线AB和抛物线截得两线段MN、PQ，设M点的横坐标为m，且0＜m＜3．试比较线段MN与PQ的大小．

Answer

（1）利用二次函数解析式，求出A、B两点的坐标，再利用待定系数法求出一次函数解析式；
（2）根据M的横坐标和直尺的宽度，求出P的横坐标，再代入直线和抛物线解析式，求出MN、PQ的长度表达式，再比较即可．
【解析】
（1）当x=0时，y=-8；当y=0时，x2-2x-8=0，
解得，x1=4，x2=-2；则A（0，-8），B（4，0）；
设一次函数解析式为y=kx+b，
将A（0，-8），B（4，0）分别代入解析式得；
解得，．
故一次函数解析式为y=2x-8；

（2）∵M点横坐标为m，则P点横坐标为（m+1）；
∴MN=（2m-8）-（m2-2m-8）=2m-8-m2+2m-8=-m2+4m；
PQ=[2（m+1）-8]-[（m+1）2-2（m+1）-8]=-m2+2m+3；
∴MN-PQ=（-m2+4m）-（-m2+2m+3）=2m-3；
①当2m-3=0时，m=，即MN-PQ=0，MN=PQ；
②当2m-3＞0时，＜m＜3，即MN-PQ＞0，MN＞PQ；
③当2m-3＜0时，0＜m＜，即MN-PQ＜0，MN＜PQ．