Question

如图1，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，AB=2，CD=1，BC=m，P为线段BC上的一动点，且和B、C不重合，连接PA，过P作PE⊥PA交CD所在直线于E．设BP=x，CE=y．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）若点P在线段BC上运动时，点E总在线段CD上，求m的取值范围；
（3）如图2，若m=4，将△PEC沿PE翻折至△PEG位置，∠BAG=90°，求BP长．

Answer

（1）证明△ABP∽△PCE，利用比例线段关系求出y与x的函数关系式；
（2）根据（1）中求出的y与x的关系式，利用二次函数性质，求出其最大值，列不等式确定m的取值范围；
（3）根据翻折的性质及已知条件，构造直角三角形，利用勾股定理求出BP的长度．解答中提供了三种解法，可认真体会．
【解析】
（1）∵∠APB+∠CPE=90°，∠CEP+∠CPE=90°，
∴∠APB=∠CEP，又∵∠B=∠C=90°，
∴△ABP∽△PCE，
∴，即，
∴y=x2+x．

（2）∵y=x2+x=（x-）2+，
∴当x=时，y取得最大值，最大值为．
∵点P在线段BC上运动时，点E总在线段CD上，
∴≤1，解得m≤．
∴m的取值范围为：0＜m≤．

（3）由折叠可知，PG=PC，EG=EC，∠GPE=∠CPE，
又∵∠GPE+∠APG=90°，∠CPE+∠APB=90°，
∴∠APG=∠APB．
∵∠BAG=90°，∴AG∥BC，
∴∠GAP=∠APB，
∴∠GAP=∠APG，
∴AG=PG=PC．

解法一：如解答图所示，分别延长CE、AG，交于点H，
则易知ABCH为矩形，HE=CH-CE=2-y，GH=AH-AG=4-（4-x）=x，
在Rt△GHE中，由勾股定理得：GH2+HE2=GE2，
即：x2+（2-y）2=y2，化简得：x2-4y+4=0  ①
由（1）可知，y=x2+x，这里m=4，∴y=x2+2x，
代入①式整理得：3x2-8x+4=0，解得：x=或x=2，
∴BP的长为或2．
解法二：如解答图所示，连接GC．
∵AG∥PC，AG=PC，
∴四边形APCG为平行四边形，∴AP=CG．
易证△ABP≌GNC，∴CN=BP=x．
过点G作GN⊥PC于点N，则GN=2，PN=PC-CN=4-2x．
在Rt△GPN中，由勾股定理得：PN2+GN2=PG2，
即：（4-2x）2+22=（4-x）2，
整理得：x2-8x+4=0，解得：x=或x=2，
∴BP的长为或2．
解法三：过点A作AK⊥PG于点K，
∵∠APB=∠APG，
∴AK=AB．
易证△APB≌△APK，
∴PK=BP=x，
∴GK=PG-PK=4-2x．
在Rt△AGK中，由勾股定理得：GK2+AK2=AG2，
即：（4-2x）2+22=（4-x）2，
整理得：3x2-8x+4=0，
解得：x=或x=2，
∴BP的长为或2．