Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=nAC，CD⊥AB于D，点P为AB边上一动点，PE⊥AC，PF⊥BC，垂足分别为E、F．
（1）若n=2，则=______；
（2）当n=3时，连EF、DF，求的值；
（3）当n=______

Answer

（1）根据∠ACB=90°，PE⊥AC，PF⊥BC，那么CEPF就是个矩形．得到CE=PF从而不难求得CE：BF的值；
（2）可通过构建相似三角形来求解；
（3）可根据（2）的思路进行反向求解，即先通过EF，DF的比例关系，求出DE：DF的值．也就求出了CE：BF的值即tanB=AC：BC的值．
【解析】
（1）∵∠ACB=90°，PE⊥AC，PF⊥BC，
∴四边形CEPF是矩形．
∴CE=PF．
∴CE：BF=PF：BF=tanB=AC：BC=．

（2）连DE，
∵∠ACB=90°，PE⊥CA，PF⊥BC，
∴四边形CEPF是矩形．
∴CE=PF．
∴==tanB．
∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠B+∠A=90°，∠ECD+∠A=90°，
∴∠ECD=∠B，
∴△CED∽△BFD．
∴∠EDC=∠FDB．
∵∠FDB+∠CDF=90°，
∴∠CDE+∠CDF=90°．
∴∠EDF=90°．
∵=tanB=，
设DE=a，DF=3a，
在直角三角形EDF中，根据勾股定理可得：EF=a．
∴．

（3）．