Question

如图，四边形ABCD是等腰梯形，下底AB在x轴上，点D在y轴上，直线AC与y轴交于点E（0，1），点C的坐标为（2，3）．
（1）求A、D两点的坐标；
（2）求经过A、D、C三点的抛物线的函数关系式；
（3）在y轴上是否在点P，使△ACP是等腰三角形？若存在，请求出满足条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）利用待定系数法求出直线EC的解析式，确定点A的坐标；然后利用等腰梯形的性质，确定点D的坐标；
（2）利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（3）满足条件的点P存在，且有多个，需要分类讨论：
①作线段AC的垂直平分线，与y轴的交点，即为所求；
②以点A为圆心，线段AC长为半径画弧，与y轴的两个交点，即为所求；
②以点C为圆心，线段CA长为半径画弧，与y轴的两个交点，即为所求．
【解析】
（1）设直线EC的解析式为y=kx+b，根据题意得：
，解得，
∴y=x+1，
当y=0时，x=-1，
∴点A的坐标为（-1，0）．
∵四边形ABCD是等腰梯形，C（2，3），
∴点D的坐标为（0，3）．

（2）设过A（-1，0）、D（0，3）、C（2，3）三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，则有：
，解得，
∴抛物线的关系式为：y=-x2+2x+3；

（3）存在．
①作线段AC的垂直平分线，交y轴于点P1，交AC于点F．
∵OA=OE，∴△OAE为等腰直角三角形，∠AEO=45°，
∴∠FEP1=∠AEO=45°，∴△FEP1为等腰直角三角形．
∵A（-1，0），C（2，3），点F为AC中点，
∴F（，），
∴等腰直角三角形△FEP1斜边上的高为，
∴EP1=1，
∴P1（0，2）；
②以点A为圆心，线段AC长为半径画弧，交y轴于点P2，P3．
可求得圆的半径长AP2=AC=3．
连接AP2，则在Rt△AOP2中，
OP2===，
∴P2（0，）．
∵点P3与点P2关于x轴对称，∴P3（0，-）；
③以点C为圆心，线段CA长为半径画弧，交y轴于点P4，P5，则圆的半径长CP4=CA=3，
在Rt△CDP4中，CP4=3，CD=2，
∴DP4===，
∴OP4=OD+DP4=3+，
∴P4（0，3+）；
同理，可求得：P5（0，3-）．
综上所述，满足条件的点P有5个，分别为：P1（0，2），P2（0，），P3（0，-），P4（0，3+），P5（0，3-）．