Question

已知：如图，在直角坐标系中，有菱形OABC，A点的坐标为（10，0），对角线OB、AC相交于D点，双曲线（x＞0）经过D点，交BC的延长线于E点，且OB•AC=160，有下列四个结论：
①双曲线的解析式为（x＞0）；
②E点的坐标是（4，8）；
③sin∠COA=；
④AC+OB=，其中正确的结论有（ ）

A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

Answer

过点C作CF⊥x轴于点F，由OB•AC=160可求出菱形的面积，由A点的坐标为（10，0）可求出CF的长，由勾股定理可求出OF的长，故可得出C点坐标，对角线OB、AC相交于D点可求出D点坐标，用待定系数法可求出双曲线（x＞0）的解析式，由反比例函数的解析式与直线BC的解析式联立即可求出E点坐标；由sin∠COA=可求出∠COA的正弦值；根据A、C两点的坐标可求出AC的长，由OB•AC=160即可求出OB的长．
【解析】
过点C作CF⊥x轴于点F，
∵OB•AC=160，A点的坐标为（10，0），
∴OA•CF=OB•AC=×160=80，菱形OABC的边长为10，
∴CF===8，
在Rt△OCF中，
∵OC=10，CF=8，
∴OF===6，
∴C（6，8），
∵点D时线段AC的中点，
∴D点坐标为（，），即（8，4），
∵双曲线（x＞0）经过D点，
∴4=，即k=32，
∴双曲线的解析式为：y=（x＞0），故①错误；
∵CF=8，
∴直线CB的解析式为y=8，
∴，解得，
∴E点坐标为（4，8），故②正确；
∵CF=8，OC=10，
∴sin∠COA===，故③正确；
∵A（10，0），C（6，8），
∴AC==4，
∵OB•AC=160，
∴OB===8，
∴AC+OB=4+8=12，故④正确．
故选C．