Question

对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C，给出如下的定义：若⊙C上存在两个点A、B，使得∠APB=60°，则称P为⊙C的关联点．已知点D（，），E（0，-2），F（2，0）．
（1）当⊙O的半径为1时，
①在点D、E、F中，⊙O的关联点是______．
②过点F作直线l交y轴正半轴于点G，使∠GFO=30°，若直线l上的点P（m，n）是⊙O的关联点，求m的取值范围；
（2）若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径r的取值范围．

Answer

（1）①根据关联点的定义得出E点是⊙O的关联点，进而得出F、D，与⊙O的关系；
②若P要刚好是⊙C的关联点，需要点P到⊙C的两条切线PA和PB之间所夹的角为60°，进而得出PC的长，进而得出点P到圆心的距离d满足0≤d≤2r，再考虑临界点位置的P点，进而得出m的取值范围；
（2）若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，欲使这个圆的半径最小，则这个圆的圆心应在线段EF的中点；再考虑临界情况，即恰好E、F点为⊙K的关联时，则KF=2KN=EF=2，即可得出圆的半径r的取值范围．
【解析】
（1）①如图1所示，过点E作⊙O的切线设切点为R，
∵⊙O的半径为1，∴RO=1，
∵EO=2，
∴∠OER=30°，
根据切线长定理得出⊙O的左侧还有一个切点，使得组成的角等于30°，
∴E点是⊙O的关联点，
∵D（，），E（0，-2），F（2，0），
∴OF＞EO，DO＜EO，
∴D点一定是⊙O的关联点，而在⊙O上不可能找到两点与点F的连线的夹角等于60°，
故在点D、E、F中，⊙O的关联点是D，E；
故答案为：D，E；

②由题意可知，若P要刚好是⊙C的关联点，
需要点P到⊙C的两条切线PA和PB之间所夹的角为60°，
由图2可知∠APB=60°，则∠CPB=30°，
连接BC，则PC==2BC=2r，
∴若P点为⊙C的关联点，则需点P到圆心的距离d满足0≤d≤2r；
由上述证明可知，考虑临界点位置的P点，
如图3，点P到原点的距离OP=2×1=2，
过点O作l轴的垂线OH，垂足为H，tan∠OGF===，
∴∠OGF=60°，
∴OH=OGsin60°=；
sin∠OPH==，
∴∠OPH=60°，
可得点P1与点G重合，
过点P2作P2M⊥x轴于点M，
可得∠P2OM=30°，
∴OM=OP2cos30°=，
从而若点P为⊙O的关联点，则P点必在线段P1P2上，
∴0≤m≤；

（2）若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，欲使这个圆的半径最小，则这个圆的圆心应在线段EF的中点；
考虑临界情况，如图4，
即恰好E、F点为⊙K的关联时，则KF=2KN=EF=2，
此时，r=1，
故若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，这个圆的半径r的取值范围为r≥1．