Question

已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，有一个圆心角为45°，半径的长等于CA的扇形CEF绕点C旋转，且直线CE，CF分别与直线AB交于点M，N．
（1）当扇形CEF绕点C在∠ACB的内部旋转时，如图①，求证：MN²=AM²+BN²；
思路点拨：考虑MN²=AM²+BN²符合勾股定理的形式，需转化为在直角三角形中解决．可将△ACM沿直线CE对折，得△DCM，连DN，只需证DN=BN，∠MDN=90°就可以了．
请你完成证明过程：
（2）当扇形CEF绕点C旋转至图②的位置时，关系式MN²=AM²+BN²是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

Answer

（1）将△ACM沿直线CE对折，得△DCM，连DN，证明△CDN≌△CBN，再利用勾股定理求出即可；
（2）将△ACM沿直线CE对折，得△GCM，连GN，证明△CGN≌△CBN，进而利用勾股定理求出即可．
（1）证明：
将△ACM沿直线CE对折，得△DCM，连DN，
则△DCM≌△ACM．
有CD=CA，DM=AM，∠DCM=∠ACM，∠CDM=∠A．
又由CA=CB，得 CD=CB．  
由∠DCN=∠ECF-∠DCM=45°-∠DCM，
∠BCN=∠ACB-∠ECF-∠ACM=90°-45°-∠ACM，
得∠DCN=∠BCN． 
又CN=CN，
∴△CDN≌△CBN．    
∴DN=BN，∠CDN=∠B．
∴∠MDN=∠CDM+∠CDN=∠A+∠B=90°．
∴在Rt△MDN中，由勾股定理，
得MN2=DM2+DN2．即MN2=AM2+BN2． 

（2）关系式MN2=AM2+BN2仍然成立．  
证明：
将△ACM沿直线CE对折，得△GCM，连GN，
则△GCM≌△ACM． 
有CG=CA，GM=AM，
∠GCM=∠ACM，∠CGM=∠CAM．
又由CA=CB，得 CG=CB．
由∠GCN=∠GCM+∠ECF=∠GCM+45°，
∠BCN=∠ACB-∠ACN=90°-（∠ECF-∠ACM）=45°+∠ACM．
得∠GCN=∠BCN．   
又CN=CN，
∴△CGN≌△CBN．
有GN=BN，∠CGN=∠B=45°，∠CGM=∠CAM=180°-∠CAB=135°，
∴∠MGN=∠CGM-∠CGN=135°-45°=90°．
∴在Rt△MGN中，由勾股定理，
得MN2=GM2+GN2．即MN2=AM2+BN2．