Question

已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象经过点（x₁，0）、（2，0），且-2＜x₁＜-1，与y轴正半轴的交点在（0，2）的下方，则下列结论：①abc＜0；②b²＞4ac；③2a+b+1＜0；④2a+c＞0．则其中正确结论的序号是（ ）
A．①②
B．②③
C．①②④
D．①②③④

Answer

由于抛物线过点（x1，0）、（2，0），且-2＜x1＜-1，与y轴正半轴相交，则得到抛物线开口向下，对称轴在y轴右侧，于是可判断a＜0，b＞0，c＞0，所以abc＜0；利用抛物线与x轴有两个交点得到b2-4ac＞0，即b2＞4ac；由于x=2时，y=0，即4a+2b+c=0，变形得2a+b+=0，则根据0＜c＜2得2a+b+1＞0；根据根与系数的关系得到2x1=，即x1=，所以-2＜＜-1，变形即可得到2a+c＞0．
【解析】
如图，
∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（x1，0）、（2，0），且-2＜x1＜-1，与y轴正半轴相交，
∴a＜0，c＞0，对称轴在y轴右侧，即x=-＞0，
∴b＞0，
∴abc＜0，所以①正确；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2-4ac＞0，即b2＞4ac，所以②正确；
当x=2时，y=0，即4a+2b+c=0，
∴2a+b+=0，
∵0＜c＜2，
∴2a+b+1＞0，所以③错误；
∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（x1，0）、（2，0），
∴方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1，2，
∴2x1=，即x1=，
而-2＜x1＜-1，
∴-2＜＜-1，
∵a＜0，
∴-4a＞c＞-2a，
∴2a+c＞0，所以④正确．
故选C．