Question

已知等腰三角形ABC中，∠ACB=90°，点E在AC边的延长线上，且∠DEC=45°，点M、N分别是DE、AE的中点，连接MN交直线BE于点F．当点D在CB边的延长线上时，如图1所示，易证MF+FN=BE

（1）当点D在CB边上时，如图2所示，上述结论是否成立？若成立，请给与证明；若不成立，请写出你的猜想，并说明理由．
（2）当点D在BC边的延长线上时，如图3所示，请直接写出你的结论．（不需要证明）

Answer

（1）首先对结论作出否定，写出猜想FN-MF=BE，连接AD，根据M、N分别是DE、AE的中点，可得MN=AD，再根据题干条件证明△ACD≌△BCE，得出AD=BE，结合MN=FN-MF，于是证明出猜想．
（2）连接AD，根据M、N分别是DE、AE的中点，可得MN=AD，再根据题干条件证明△ACD≌△BCE，得出AD=BE，结合MN=FM-FN，得到结论MF-FN=BE．
（1）答：不成立，
猜想：FN-MF=BE，
理由如下：
证明：如图2，连接AD，
∵M、N分别是DE、AE的中点，
∴MN=AD，
又∵在△ACD与△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE，
∵MN=FN-MF，
∴FN-MF=BE；

（2）图3结论：MF-FN=BE，
证明：如图3，连接AD，
∵M、N分别是DE、AE的中点，
∴MN=AD，
∵在△ACD与△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE，
∴MN=BE，
∵MN=FM-FN，
∴MF-FN=BE．