Question

如图，一次函数y=-x+4的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B．P是射线BO上的一个动点（点P不与点B重合），过点P作PC⊥AB，垂足为C，在射线CA上截取CD=CP，连接PD．设BP=t．
（1）t为何值时，点D恰好与点A重合？
（2）设△PCD与△AOB重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围．

Answer

（1）首先求出点A、B的坐标，然后在Rt△BCP中，解直角三角形求出BC，CP的长度；进而利用关系式AB=BC+CD，列方程求出t的值；
（2）点P运动的过程中，分为四个阶段，需要分类讨论：
①当0＜t≤时，如题图所示，重合部分为△PCD；
②当＜t≤4时，如答图1所示，重合部分为四边形ACPE；
③当4＜t≤时，如答图2所示，重合部分为△ACE；
④当t＞时，无重合部分．
【解析】
（1）在一次函数解析式y=-x+4中，令x=0，得y=4；令y=0，得x=3，
∴A（3，0），B（0，4）．
在Rt△AOB中，OA=3，OB=4，由勾股定理得：AB=5．
在Rt△BCP中，CP=PB•sin∠ABO=t，BC=PB•cos∠ABO=t，
∴CD=CP=t．
若点D恰好与点A重合，则BC+CD=AB，即t+t=5，
解得：t=，
∴当t=时，点D恰好与点A重合．

（2）当点P与点O重合时，t=4；
当点C与点A重合时，由BC=BA，即t=5，得t=．
点P在射线BO上运动的过程中：
①当0＜t≤时，如题图所示：
此时S=S△PCD=CP•CD=•t•t=t2；
②当＜t≤4时，如答图1所示，设PC与x轴交于点E．

BD=BC+CD=t+t=t，
过点D作DN⊥y轴于点N，则ND=BD•sin∠ABO=t•=t，BN=BD•cos∠ABO=t•=t．
∴PN=BN-BP=t-t=t，ON=BN-OB=t-4．
∵ND∥x轴，
∴，即，得：OE=28-7t．
∴AE=OA-OE=3-（28-7t）=7t-25．
故S=S△PCD-S△ADE=CP•CD-AE•ON=t2-（7t-25）（t-4）=t2+28t-50；
③当4＜t≤时，如答图2所示，设PC与x轴交于点E．

AC=AB-BC=5-t，
∵tan∠OAB==，∴CE=AC•tan∠OAB=（5-t）×=-t．
故S=S△ACE=AC•CE=（5-t）•（-t）=t2-t+；
④当t＞时，无重合部分，故S=0．
综上所述，S与t的函数关系式为：
S=．