Question

如图1，已知直线l：y=-x+2与y轴交于点A，抛物线y=（x-1）²+k经过点A，其顶点为B，另一抛物线y=（x-h）²+2-h（h＞1）的顶点为D，两抛物线相交于点C．
（1）求点B的坐标，并说明点D在直线l上的理由；
（2）设交点C的横坐标为m．
 ①交点C的纵坐标可以表示为：______或______，由此进一步探究m关于h的函数关系式；
 ②如图2，若∠ACD=90°，求m的值．

Answer

（1）首先求得点A的坐标，然后求得点B的坐标，用h表示出点D的坐标后代入直线的解析式验证即可；
（2）根据两种不同的表示形式得到m和h之间的函数关系即可；过点C作y轴的垂线，垂足为E，过点D作DF⊥CE于点F，证得△ACE∽△CDF，然后用m表示出点C和点D的坐标，根据相似三角形的性质求得m的值即可．
【解析】
（1）当x=0时候，y=-x+2=2，
∴A（0，2），
把A（0，2）代入，得1+k=2
∴k=1，
∴B（1，1）
∵D（h，2-h）
∴当x=h时，y=-x+2=-h+2=2-h
∴点D在直线l上；

（2）①（m-1）2+1或（m-h）2-h+2
由题意得（m-1）2+1=（m-h）2-h+2，
整理得2mh-2m=h2-h
∵h＞1
∴m==．
②过点C作y轴的垂线，垂足为E，过点D作DF⊥CE于点F
∵∠ACD=90°，
∴∠ACE=∠CDF
又∵∠AEC=∠DFC
∴△ACE∽△CDF
∴
又∵C（m，m2-2m+2），D（2m，2-2m），
∴AE=m2-2m，DF=m2，CE=CF=m
∴=
∴m2-2m=1
解得：m=±+1
∵h＞1
∴m=＞
∴m=+1