Question

如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”．
（1）请用直尺和圆规画一个“好玩三角形”；
（2）如图在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=，求证：△ABC是“好玩三角形”；
（3））如图2，已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC=2β，点P，Q从点A同时出发，以相同速度分别沿折线AB-BC和AD-DC向终点C运动，记点P经过的路程为s．
①当β=45°时，若△APQ是“好玩三角形”，试求的值；
②当tanβ的取值在什么范围内，点P，Q在运动过程中，有且只有一个△APQ能成为“好玩三角形”．请直接写出tanβ的取值范围．
（4）（本小题为选做题，作对另加2分，但全卷满分不超过150分）
依据（3）的条件，提出一个关于“在点P，Q的运动过程中，tanβ的取值范围与△APQ是‘好玩三角形’的个数关系”的真命题（“好玩三角形”的个数限定不能为1）

Answer

（1）先画一条线段AB，再确定AB的中点O，过点O作一条线段OC使OC=AB，连接AC、BC，则△ABC是所求作的三角形；
（2）取AC的中点D，连接BD，设BC=x，根据条件可以求出AC=2x，由三角函数可以求出BD=2x，从而得出AC=BC，从而得出结论；
（3）①当β=45°时，分情况讨论，P点在AB上时，△APQ是等腰直角三角形，不可能是“好玩三角形”，当P在BC上时，延长AB交QP的延长线于点F，可以求出分情况讨论，就可以求出，再分情况讨论就可以求出当AE=PQ时，的值，当AP=QM时，可以求出的值；
②根据①求出的两个的值就可以求出tanβ的取值范围；
（4）由（3）可以得出0＜tanβ＜，△APQ为“好玩三角形”的个数为2就是真命题．
【解析】
（1）如图1，①作一条线段AB，
②作线段AB的中点O，
③作线段OC，使OC=AB，
④连接AC、BC，
∴△ABC是所求作的三角形．

（2）如图2，取AC的中点D，连接BD
∵∠C=90°，tanA=，
∴
∴设BC=x，则AC=2x，
∵D是AC的中点，
∴CD=AC=x
∴BD===2x，
∴AC=BD
∴△ABC是“好玩三角形”；

（3）①如图3，当β=45°，点P在AB上时，
∴∠ABC=2β=90°，
∴△APQ是等腰直角三角形，不可能是“好玩三角形”，
当P在BC上时，连接AC交PQ于点E，延长AB交QP的延长线于点F，
∵PC=CQ，
∴∠CAB=∠ACP，∠AEF=∠CEP，
∴△AEF∽△CEP，
∴．
∵PE=CE，
∴．
Ⅰ当底边PQ与它的中线AE相等时，即AE=PQ时，
，
∴，
Ⅱ当腰AP与它的中线QM相等，即AP=QM时，
作QN⊥AP于N，如图4
∴MN=AN=MP．
∴QN=MN，
∴tan∠APQ=，
∴tan∠APE===，
∴=
②由①可知，当AE=PQ和AP=QM时，有且只有一个△APQ能成为“好玩三角形”，
∴＜tanβ＜2时，有且只有一个△APQ能成为“好玩三角形”．

（4）由（3）可以知道0＜tanβ＜，
则在P、Q的运动过程中，使得△APQ成为“好玩三角形”的个数为2．