Question

如图（1），抛物线y=ax²-3ax+b经过A（-1，0），C（3，-2）两点，与y轴交于点D，与x轴交于另一点B．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若直线y=kx+1（k≠0）将四边形ABCD面积二等分，求k的值；
（3）如图（2），过点E（1，1）作EF⊥x轴于点F，将△AEF绕平面内某点P旋转180°得△MNQ（点M、N、Q分别与点A、E、F对应），使点M、N在抛物线上，求点N和点P的坐标？

Answer

（1）把A、C的坐标代入抛物线得到方程组，求出方程组的解即可
（2）求出B、D的坐标，根据勾股定理求出等腰梯形ADCB，取DC中点E，则E的坐标是（，-2），过E作EF⊥AB于F，取EF的中点G，则G的坐标是（，-1），则过G的直线（直线与AB和CD相交）都能把等腰梯形ABCD的面积二等份，把G的坐标代入y=kx+1即可求出答案；
（3）把x=1代入y=x2-x-2求出N的坐标，根据对称求出QF，即可求出P的坐标．
【解析】
（1）∵抛物线y=ax2-3ax+b经过A（-1，0），C（3，-2），
代入得：．
∴，
∴y=x2-x-2，
答：此抛物线的解析式为y=x2-x-2；

（2）y=x2-x-2=0，
∴x1=-1，x2=4，
∴B（4，0），
当x=0时，y=-2，
∴D（0，-2），
∵C（3，-2），
∴DC∥AB，
由勾股定理得：AD=BC=，
∴四边形ADCB是等腰梯形，
∵D（0，-2），C（3，-2），
∴取DC中点E，则E的坐标是（，-2），
过E作EF⊥AB于F，取EF的中点G，则G的坐标是（，-1），
则过G的直线（直线与AB和CD相交）都能把等腰梯形ABCD的面积二等份，
把G的坐标代入y=kx+1得：k=-，
即k=-．

（3）设Q（m，n），则M（m+2，n），N（m，n-1），
代入y=x2-x-2中，得，
解得，∴Q（1，-2），N（1，-3），
又Q的对应点为F（1，0），
∴QF的中点为旋转中心P，
即P（1，-1），点N和点M的坐标分别为：（1，-3），（3，-2）．