Question

已知：矩形ABCD中，AB=5，BC=12，点E在对角线AC上，且CE=6，动点P在矩形ABCD的四边上运动一周，则以P、E、C为顶点的等腰三角形有（ ）个．

A．5
B．6
C．7
D．8

Answer

根据等腰三角形的性质分为四种情况：P在BC上，P在CD上，P在AD上，P在AB上，在每种情况又分为三种情况①CE=PE，②PE=PC，③CE=CP，①CE=PE，分别求出对应的值，和CD、AD、AB比较即可．
【解析】
（1）P在BC上：①CP=CE=6＜12，此时有一点P；
②CE=PE=6时，
过E作EN⊥BC于N，
cos∠ACB==，
CN=，
CP=2CN=＜12，此时有1点P；
③CP=EP时，
P在CE的垂直平分线MN（M为垂足）上，CM=EM=3，
cos∠ACB==，
CP=＜12，存在一点P；
（2）P在CD上：①PE=PC，
此时P在CE的垂直平分线MN（M为垂足）上，
CM=EM=3，
cos∠ACD==，
CP=＞5，
即P在CD的延长线上，此时不存在P点；
②CE=CP=6＞CD，此时不存在P点；
③EP=CE=6，
过E作EN⊥CD于N，
cos∠ACD==，
CN=，
CP=2CN=＜CD，即此时存在一点P；
（3）P在AD上：①PE=CP，
过P作PM⊥AC于M，CM=EM=3，AM=13-3=10，
cos∠DAC==，
AP=＜12，即此时存在一点P；
②CE=PC，
PD==＜12，此时存在一点P；
③PE=CE=6，
sin∠DAC==，
EM=，
AM==，PM==，
AP=-，AP′=+，即存在2点P；

（4）P在AB上：①CP=PE，即P在CE的垂直平分线MN（M为垂足）上，
cos∠ACB==，
CP=＜12，即CP小于C到AB的最短距离，即此时不存在P点；
②CE=CP=6＜12，
∵C到AB的最短距离是12，
∴此时不存在P点；
③CE=PE=6，AE=13-6=7，
过E作EM⊥AB于M，
sin∠BAC==，
EM=＞PE，
即E到AB的最短距离大于PE，
即此时不存在P点；
综合上述：共有（1+1+1）+1+（1+1+2）+0=8．
故选D．