Question

如图，矩形ABCO的对角线AC、OB交于点A₁，直线AC的解析式为，过点A₁作A₁O₁⊥OC于O₁，过点A₁作A₁B₁⊥BC于B₁，得到第二个矩形A₁B₁CO₁，A₁C、O₁B₁交于点A₂，过点A₂作A₂O₂⊥OC于O₂，过点A₂作A₂B₂⊥BC于B₂，得到第三个矩形A₂B₂CO₂，…，依此类推，这样作的第n个矩形对角线交点A_n的坐标为    ．

Answer

根据矩形的性质，以及相似三角形的判定方法，可以证得：△AnCOn∽△ACO，相似比是（）n．即可求得AnOn，OOn的长，从而求得点An的坐标．
【解析】
在中，令x=0解得：y=2；
令y=0，解得：x=-2，
则OC=2，OA=2．
∵A1是矩形ABCO的对角线的交点，OA1∥OA，
∴△A1CO1∽△ACO，相似比是；
同理，△A2CO2∽△A1CO1，相似比是；
则△A2CO2∽△ACO，相似比是=（）2，
同理：△AnCOn∽△ACO，相似比是（）n．
∴==（）n．
∴AnOn=（）n•OA=（）n×2=（）n-1．
OCn=（）n×OC=（）n×2=（）n-1，OOn=2-（）n-1，
则点An的坐标为（（）n-1-2，（）n-1）