Question

在△ABC中，AB=AC，CD⊥AB交AB于点D，将三角板MNP按图甲的位置摆放，使三角板的一条直角边MP与AC边在一条直线上，当另一条直角边MN恰好经过点B时，易证：BM=CD．

（1）当三角板沿AC方向平移到图乙的位置（一条直角边MP仍与AC边在同一直线上，另一条直角边MN交BC边于点E，过点E作EF⊥AB于点F）时，请你猜想线段EF、EM、CD之间的数量关系，并证明你的猜想；
（2）当三角板沿AC方向继续平移到图丙所示的位置（线段NM的延长线与BC的延长线交于点E）时，线段EF、EM、CD之间的又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．

Answer

（1）首先构造直角三角形，进而利用全等三角形的判定得出△EWC≌△CME（AAS），即可得出EF、EM、CD之间的数量关系；
（2）首先构造直角三角形，进而利用全等三角形的判定得出△EWC≌△EMC，即可得出EF、EM、CD之间的数量关系．
【解析】
（1）EF+ME=CD，
理由：过点E作EW⊥CD于点W，
∵EF⊥AB，CD⊥AB，EW⊥CD，
∴四边形DFEW是矩形，
∴DW=EF，BD∥WE，
∴∠B=∠WEC，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∴∠ACB=∠WEC，
在△EWC和△CME中
，
∴△EWC≌△CME（AAS），
∴WC=ME，
∴CD=DW+WC=EF+ME；

（2）EF=ME+CD，
理由：过点C作CW⊥EF于点W，
∵EF⊥AB，CD⊥AB，CW⊥EF，
∴四边形DFWC是矩形，
∴DC=WF，BA∥WC，
∴∠B=∠1，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∵∠ACB=∠2，
∴∠1=∠2，
在△EWC和△EMC中
，
∴△EWC≌△EMC（AAS），
∴WE=ME，
∴EF=FW+WE=CD+ME．